Use o determinante para verificar quais das matrizes abaixo são inversíveis, caso seja, calcule sua inversa.
\left[\begin{array}{cccc}1 & 3 & 0 & -1 \\\\ 0 & 1 & -2 & -1 \\\\ -2 & -6 & 3 & 2 \\\\ 3 & 5 & 8 & -3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & -1\\\\ 0 & 1 & -2 & -1\\\\ -2 & -6 & 3 & 2\\\\ 3 & 5 & 8 & -3 \end{pmatrix}
e pede para usar o determinante para decidir se A é inversível e, em caso afirmativo, calcular A^{-1}. O conteúdo é cálculo de determinante e método de Gauss–Jordan para encontrar a matriz inversa.

Passo 2

Vamos calcular \det(A) por operações elementares que levam a uma forma triangular. Começamos com
\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & -1\\\\ 0 & 1 & -2 & -1\\\\ -2 & -6 & 3 & 2\\\\ 3 & 5 & 8 & -3 \end{pmatrix}.
  1. R_3\leftarrow R_3+2R_1 e R_4\leftarrow R_4-3R_1
\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & -1\\\\ 0 & 1 & -2 & -1\\\\ 0 & 0 & 3 & 0\\\\ 0 & -4 & 8 & 0 \end{pmatrix}.
  1. R_4\leftarrow R_4+4R_2 leva a
\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & -1\\\\ 0 & 1 & -2 & -1\\\\ 0 & 0 & 3 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & -4 \end{pmatrix}.
Agora é triangular superior, logo
\det(A)=1\cdot1\cdot3\cdot(-4)=-12\neq0.

Passo 3

Como \det(A)=-12\neq0, concluímos que A é inversível.

Passo 4

Para achar A^{-1}, montamos a aumentada [A\mid I] e aplicamos Gauss–Jordan. Após as mesmas operações de triangularização do passo 2, obtemos
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & -4 & -3 & 4 & 0 & 1 \end{array}\right].

Passo 5

Normalizamos os pivôs:
R_3\leftarrow \tfrac1{3}R_3,\quad R_4\leftarrow -\tfrac1{4}R_4,
ficando
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & \tfrac23 & 0 & \tfrac13 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & \tfrac34 & -1 & 0 & -\tfrac14 \end{array}\right].

Passo 6

Eliminamos para obter [I\mid A^{-1}]:
  1. Zerar coluna 4 acima do pivô:
    R_1\leftarrow R_1+R_4,\;R_2\leftarrow R_2+R_4.
  2. Zerar coluna 3 em R_2: R_2\leftarrow R_2+2R_3.
  3. Zerar coluna 2 em R_1: R_1\leftarrow R_1-3R_2.
O resultado final é
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 0 & -\tfrac92 & -1 & -2 & \tfrac12\\\\ 0 & 1 & 0 & 0 & \tfrac{25}{12} & 0 & \tfrac23 & -\tfrac14\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & \tfrac23 & 0 & \tfrac13 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & \tfrac34 & -1 & 0 & -\tfrac14 \end{array}\right].

Resposta

A é inversível (pois \det(A)=-12\neq0) e
A^{-1} = \begin{pmatrix} -\tfrac92 & -1 & -2 & \tfrac12\\[6pt] \tfrac{25}{12} & 0 & \tfrac23 & -\tfrac14\\[6pt] \tfrac23 & 0 & \tfrac13 & 0\\[6pt] \tfrac34 & -1 & 0 & -\tfrac14 \end{pmatrix}.]

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