Use diferenciação implícita para calcular a derivada das funções abaixo:
y=\operatorname{arccos} (x). Dica: similar ao que foi feito em sala para calcular a derivada de y=\operatorname{arcsen}(x).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de y=\operatorname{arccos}(x) usando diferenciação implícita. Vamos usar a relação inversa entre cosseno e arco-cosseno e depois diferenciar implicitamente para encontrar y'.

Passo 2

Escrevemos a função de forma implícita trocando y e x:
\cos(y)=x.
Agora derivamos ambos os lados em relação a x. Lembrando que \displaystyle\frac{d}{dx}\cos(y)=-\sin(y)\,y', temos
-\sin(y)\,y' = 1.
Logo,
y' = -\frac{1}{\sin(y)}.

Passo 3

Para eliminar \sin(y), usamos que y=\operatorname{arccos}(x) implica y\in[0,\pi], onde \sin(y)\ge0, e a identidade pitagórica:
\sin(y)=\sqrt{1-\cos^2(y)}=\sqrt{1-x^2}.
Substituindo em y'=-1/\sin(y) obtemos
y' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.

Resposta

\boxed{\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.}

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