Use a diferenciação logarítmica para calcular a derivada da função dada.
Passo 1
O enunciado pede para calcular H’(x) de
H(x)= usando diferenciação logarítmica. O conteúdo envolve usar propriedades de logaritmos para simplificar a derivada e depois aplicar regra da cadeia e derivada de funções compostas.
H(x)=
Passo 2
Vamos definir L(x)=ln H(x) e usar propriedades dos logaritmos para separar produtos e quocientes. Temos:
Agora aplicamos as regras: ln(a^n)=n ln a.
Passo 3
Simplificando cada termo de L(x) obtém-se:
Em seguida, derivamos implicitamente dos dois lados em relação a x, lembrando que
.
Passo 4
Calculando termo a termo temos:
Derivada de é
.
Derivada de é
.
Derivada de é
Derivada de
Derivada de
Derivada de
Somando tudo, fica:
Passo 5
Para encontrar H’(x), basta multiplicar ambos os lados por H(x). Substituindo H(x) original, temos:
Resposta
H’(x)=\frac{\sin{3}x,(x+e{x})^{1/5}}{(\cos x - x)^{2}}\left[3\cot x+\frac{1+e{x}}{5(x+e{x})}+\frac{2(\sin x+1)}{\cos x - x}\right].