Use a diferenciação logarítmica para calcular a derivada da função dada.
H(x)=sen^3 x raiz[5]x+e^x(cos x-x)^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular H’(x) de
H(x)= sin^3x,raiz[5]x+e^x(cos x - x)^2 usando diferenciação logarítmica. O conteúdo envolve usar propriedades de logaritmos para simplificar a derivada e depois aplicar regra da cadeia e derivada de funções compostas.

Passo 2

Vamos definir L(x)=ln H(x) e usar propriedades dos logaritmos para separar produtos e quocientes. Temos:
L(x)=ln H(x)=lnl(sin^3xr)+lnl((x+e^x)^1/5r)-lnl((cos x - x)^2r)
Agora aplicamos as regras: ln(a^n)=n ln a.

Passo 3

Simplificando cada termo de L(x) obtém-se:
L(x)=3ln(sin x)+15ln(x+e^x)-2ln(cos x - x)
Em seguida, derivamos implicitamente dos dois lados em relação a x, lembrando que ddx[ln f(x)]=f'(x)/f(x).

Passo 4

Calculando termo a termo temos:
Derivada de 3ln(sin x) é 3cdotcos xsin x=3cot x.
Derivada de tfrac15ln(x+e^x) é tfrac15cdot1+e^xx+e^x.
Derivada de -2ln(cos x - x) é
-2cdot-sin x-1cos x - x=2(sin x+1)cos x - x
Somando tudo, fica:
H'(x)H(x)=3cot x+1+e^x5(x+e^x)+2(sin x+1)cos x - x

Passo 5

Para encontrar H’(x), basta multiplicar ambos os lados por H(x). Substituindo H(x) original, temos:
H'(x)=sin^3x,(x+e^x)^1/5(cos x - x)^2[3cot x+1+e^x5(x+e^x)+2(sin x+1)cos x - x]

Resposta

H’(x)=\frac{\sin{3}x,(x+e{x})^{1/5}}{(\cos x - x)^{2}}\left[3\cot x+\frac{1+e{x}}{5(x+e{x})}+\frac{2(\sin x+1)}{\cos x - x}\right].

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