Use a diferenciação logarítmica para calcular a derivada da função dada.
G(x)=tg^8 x(x^2-4)^5(2 x-1)^2x^4(sen x-cos x)^6

Passo 1

Nessa questão queremos derivar a função G(x)=tan^8 x (x^2 - 4)^5 (2x-1)^2x^4(sin x - cos x)^6 usando diferenciação logarítmica. Esse método envolve tomar ln dos dois lados e usar propriedades de log e derivadas para simplificar o processo. Para isso, precisamos lembrar que ddxln f(x)=f'(x)f(x) e as derivadas de funções como tan x, sin x, cos x e funções polinomiais.

Passo 2

Aplicamos ln em ambos os lados da igualdade e usamos as propriedades de log: ln G(x) = 8ln(tan x) + 5ln(x^2 - 4) + 2ln(2x-1) - 4ln x - 6ln(sin x - cos x). Aqui usamos que ln(a/b)=ln a - ln b e ln(a^b)=bln a.

Passo 3

Diferenciamos ambos os lados e obtemos: G'(x)G(x) = 8ddxln(tan x) + 5ddxln(x^2 - 4) + 2ddxln(2x-1) - 4ddxln x - 6ddxln(sin x - cos x). Agora calculamos cada termo: ddxln(tan x)=sec^2 xtan x, ddxln(x^2 - 4)=2xx^2 - 4, ddxln(2x-1)=22x-1, ddxln x=1x e ddxln(sin x - cos x)=cos x + sin xsin x - cos x.

Passo 4

Substituindo os resultados no lado esquerdo, temos: G'(x)G(x) = 8sec^2 xtan x + 52xx^2 - 4 + 222x-1 - 41x - 6cos x + sin xsin x - cos x Reconhecendo que sec^2 xtan x = 1sin x cos x, simplificamos para G'(x)G(x) = 8sin x cos x + 10xx^2 - 4 + 42x-1 - 4x - 6cos x + sin xsin x - cos x

Passo 5

Por fim, multiplicamos por G(x) para obter G'(x): G'(x) = tan^8 x (x^2 - 4)^5 (2x-1)^2x^4(sin x - cos x)^6 l(8sin x cos x + 10xx^2 - 4 + 42x-1 - 4x - 6cos x + sin xsin x - cos xr)

Resposta

G'(x) = tan^8 x (x^2 - 4)^5 (2x-1)^2x^4(sin x - cos x)^6 l(8sin x cos x + 10xx^2 - 4 + 42x-1 - 4x - 6cos x + sin xsin x - cos xr)

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