Use a diferenciação logarítmica para calcular a derivada da função dada.
F(x)=raiztg x-x^3raiz[3](x-3 x^2)^2

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
F(x)=raiztg x - x^3raiz[3](x - 3x^2)^2
usando diferenciação logarítmica. Vamos precisar das regras de logaritmo (produto, quociente e potência), da derivada de ln, da regra da cadeia, da derivada de tan x e da derivada de funções potenciais.

Passo 2

Começamos aplicando logaritmo em ambos os lados: definindo y=F(x), temos
ln y = lnl((tan x - x^3)^1/2r) - lnl(((x - 3x^2)^2)^1/3r)
Usamos que ln(a^m)=mln a.

Passo 3

Simplificando os expoentes pelo logaritmo, obtemos
ln y = tfrac12ln(tan x - x^3) - tfrac23ln(x - 3x^2)
Isto separa a função em somas e diferenças de ln.

Passo 4

Agora diferenciamos ambos os lados em relação a x. Pela regra da cadeia e pela derivada de ln u(x) temos
y'y = tfrac12cdot1tan x - x^3cdot(sec^2x - 3x^2) - tfrac23cdot1x - 3x^2cdot(1 - 6x)
Aqui usamos ddxtan x=sec^2x e ddx(x-3x^2)=1-6x

Passo 5

Isolando y', multiplicamos ambos os lados por y=F(x):
y' = F(x)l[tfracsec^2x - 3x^22(tan x - x^3) - tfrac2(1 - 6x)3(x - 3x^2)r]
Finalmente, substituímos F(x) de volta.

Passo 6

A expressão acima já é a derivada de F(x) obtida por diferenciação logarítmica.

Resposta

F’(x)=\frac{\sqrt{\tan x - x^{3}}}{\sqrt[3]{(x - 3x{2}){2}}}\left[\frac{\sec^{2}x - 3x^{2}}{2\bigl(\tan x - x^{3}\bigr)} - \frac{2(1 - 6x)}{3(x - 3x^{2})}\right]

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