Use a diferenciação logarítmica para calcular a derivada da função dada.
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
usando diferenciação logarítmica. Vamos precisar das regras de logaritmo (produto, quociente e potência), da derivada de
, da regra da cadeia, da derivada de
e da derivada de funções potenciais.
Passo 2
Começamos aplicando logaritmo em ambos os lados: definindo
, temos
Usamos que
.
Passo 3
Simplificando os expoentes pelo logaritmo, obtemos
Isto separa a função em somas e diferenças de
.
Passo 4
Agora diferenciamos ambos os lados em relação a
. Pela regra da cadeia e pela derivada de
temos
Aqui usamos
e
Passo 5
Isolando
, multiplicamos ambos os lados por
:
Finalmente, substituímos
de volta.
Passo 6
A expressão acima já é a derivada de
obtida por diferenciação logarítmica.
Resposta
F’(x)=\frac{\sqrt{\tan x - x^{3}}}{\sqrt[3]{(x - 3x{2}){2}}}\left[\frac{\sec^{2}x - 3x^{2}}{2\bigl(\tan x - x^{3}\bigr)} - \frac{2(1 - 6x)}{3(x - 3x^{2})}\right]