Use diferenciais para encontrar um valor aproximado de:
Passo 1
O que o problema pede: aproximar o valor de
.\n
Informações relevantes dadas ou óbvias: um valor muito próximo e conveniente é (pois
), portanto podemos usar o ponto
e a pequena variação
.\n
A resolução começa a seguir.
Informações relevantes dadas ou óbvias: um valor muito próximo e conveniente é
A resolução começa a seguir.
Passo 2
Ideia dos diferenciais (explicação didática): quando queremos aproximar
para um
pequeno, podemos usar a reta tangente a
em
. A fórmula da aproximação linear é
Aqui:
-
é a função que estamos avaliando; -
é o ponto próximo de onde sabemos um valor simples de ; -
é a pequena diferença entre o ponto desejado e ; -
é a derivada de avaliada em .
Essa é a mesma ideia dos diferenciais: o diferencialé definido por
que representa a mudança aproximada em
quando
muda de
para
. Quanto menor
, melhor a aproximação.
Passo 3
Escolha da função e aplicação da regra de derivação: tome
Usamos a regra do poder (power rule) para derivar: se
então
. Aplicando aqui com
obtemos
Expliquei a regra: multiplicamos pelo expoente e diminuímos 1 no expoente.
Passo 4
Avaliação em
: calcule
e
.\n
Primeiro,
Primeiro,
Como
, temos
Agora a derivada em
:
Tudo explicado:
porque
.
Passo 5
Aplicando a fórmula linear com
: use
Substituindo os valores encontrados,
Calcule a mudança:
Portanto a aproximação é
Passo 6
Estimativa do erro (para você ficar confiante na prova): o erro da aproximação linear pode ser estimado usando a segunda derivada. Calculamos
Em
,
Uma cota típica para o resto de Taylor (termo de ordem
) é
Tomando
e
,
Ou seja, o erro é da ordem de
, muito pequeno — a aproximação
é praticamente exata para fins de prova.