Use diferenciais para encontrar um valor aproximado de:
(15,99)^{\frac{3}{4}}

Passo 1

O que o problema pede: aproximar o valor de (15,99)^{\frac{3}{4}}.\n
Informações relevantes dadas ou óbvias: um valor muito próximo e conveniente é 16 (pois 15,99=16-0,01), portanto podemos usar o ponto a=16 e a pequena variação \,dx=-0,01.\n
A resolução começa a seguir.

Passo 2

Ideia dos diferenciais (explicação didática): quando queremos aproximar f(a+dx) para um dx pequeno, podemos usar a reta tangente a f em a. A fórmula da aproximação linear é
f(a+dx)\approx f(a)+f'(a)\,dx.
Aqui:
  • f é a função que estamos avaliando;
  • a é o ponto próximo de onde sabemos um valor simples de f;
  • dx é a pequena diferença entre o ponto desejado e a;
  • f'(a) é a derivada de f avaliada em a.
    Essa é a mesma ideia dos diferenciais: o diferencial df é definido por
df=f'(a)\,dx,
que representa a mudança aproximada em f quando x muda de a para a+dx. Quanto menor |dx|, melhor a aproximação.

Passo 3

Escolha da função e aplicação da regra de derivação: tome
f(x)=x^{\frac{3}{4}}.
Usamos a regra do poder (power rule) para derivar: se f(x)=x^{n} então f'(x)=n x^{n-1}. Aplicando aqui com n=\tfrac{3}{4} obtemos
f'(x)=\frac{3}{4}\,x^{\frac{3}{4}-1}=\frac{3}{4}\,x^{-\frac{1}{4}}.
Expliquei a regra: multiplicamos pelo expoente e diminuímos 1 no expoente.

Passo 4

Avaliação em a=16: calcule f(16) e f'(16).\n
Primeiro,
f(16)=16^{\frac{3}{4}}=\bigl(16^{\frac{1}{4}}\bigr)^3.
Como 16^{\frac{1}{4}}=2, temos
f(16)=2^3=8.
Agora a derivada em 16:
f'(16)=\frac{3}{4}\cdot 16^{-\frac{1}{4}}=\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{16^{\frac{1}{4}}}=\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{8}=0,375.
Tudo explicado: 16^{1/4}=2 porque 2^4=16.

Passo 5

Aplicando a fórmula linear com dx=-0,01: use
f(16+dx)\approx f(16)+f'(16)\,dx.
Substituindo os valores encontrados,
f(15,99)\approx 8 + \frac{3}{8}\cdot(-0,01).
Calcule a mudança:
\frac{3}{8}\cdot(-0,01)=-0,00375.
Portanto a aproximação é
f(15,99)\approx 8-0,00375=7,99625.

Passo 6

Estimativa do erro (para você ficar confiante na prova): o erro da aproximação linear pode ser estimado usando a segunda derivada. Calculamos
f''(x)=\frac{d}{dx}\!\left(\frac{3}{4}x^{-\frac{1}{4}}\right)=\frac{3}{4}\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)x^{-\frac{5}{4}}=-\frac{3}{16}x^{-\frac{5}{4}}.
Em x=16,
|f''(16)|=\frac{3}{16}\cdot 16^{-\frac{5}{4}}=\frac{3}{16}\cdot\frac{1}{2^5}=\frac{3}{512}\approx 0,005859375.
Uma cota típica para o resto de Taylor (termo de ordem dx^2) é
\text{erro}\le \frac{1}{2}\max|f''|\cdot dx^2.
Tomando \max|f''|\approx |f''(16)| e dx=-0,01,
\text{erro}\le \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{512}\cdot(0,01)^2\approx 2,93\cdot10^{-7}.
Ou seja, o erro é da ordem de 10^{-7}, muito pequeno — a aproximação 7,99625 é praticamente exata para fins de prova.

Resposta

7,99625

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