Use diferenciais para encontrar um valor aproximado de:
Passo 1
O que o enunciado pede: aproximar o valor de
.
Informações dadas (explicitadas):
- O problema dá dois números dentro de funções conhecidas:
na função e na função . - Não há mais informações; temos liberdade para usar aproximações por diferenciais (linearização) em pontos fáceis de calcular.
Passo 2
Ideia geral (o que são diferenciais / aproximação linear):
- Se temos uma função
que é diferenciável num ponto , e queremos com pequeno, podemos usar a aproximação linear (diferenciais):
- Aqui
é a derivada de em e é a variação do argumento. - Essa fórmula vem da expansão de Taylor de primeira ordem e é a base do método de diferenciais para aproximações rápidas na prova.
Passo 3
Escolha dos pontos de expansão (por que escolher onde expandir):
- Para
vamos usar a função . É conveniente expandir em torno de porque é um cubo perfeito ( ) e é fácil de calcular. - Para
vamos usar a função . É conveniente expandir em torno de porque é um quadrado perfeito ( ) e é simples.
Passo 4
Derivadas das funções (fórmulas e significado das variáveis):
- Para
usamos a regra da potência. A derivada é
Aqui
é o ponto onde avaliamos a derivada;
mede a taxa de variação de
em torno de
.
- Para
também usamos a regra da potência. A derivada é
Novamente
diz quão rapidamente
muda quando
varia.
Passo 5
Aproximação de
passo a passo:
- Tomamos
, e . - Avaliamos
e :
- Como
então . Assim
- Pela fórmula linear:
- Escrevendo como fração:
Passo 6
Aproximação de
passo a passo:
- Tomamos
, e . - Avaliamos
e :
- Como
então . Assim
- Pela fórmula linear:
- Calculando a soma como fração:
Passo 7
Somando as aproximações:
- Temos
- Podemos somar como fração comum ou converter para decimal. Como fração comum:
- Em decimal:
Passo 8
Comentário sobre precisão e escolha dos pontos:
- Expandimos em
e porque são pontos com valores exatos fáceis ( e ). - Essas escolhas são razoáveis porque
está a distância de (pequena) e está a distância de . A aproximação será bastante boa; erro típico é do tamanho da segunda derivada vezes , pequeno aqui. - Se você quiser maior precisão na prova, poderia escolher outras técnicas (por exemplo Newton) ou usar um ponto ainda mais próximo se for conveniente. Para este exercício, a aproximação por diferenciais é esperada e suficiente.