Use diferenciais para encontrar um valor aproximado de:
\sqrt[3]{26}+\frac{1}{\sqrt{13}}

Passo 1

O que o enunciado pede: aproximar o valor de \sqrt[3]{26}+\dfrac{1}{\sqrt{13}}.
Informações dadas (explicitadas):
  • O problema dá dois números dentro de funções conhecidas: 26 na função x^{1/3} e 13 na função x^{-1/2}.
  • Não há mais informações; temos liberdade para usar aproximações por diferenciais (linearização) em pontos fáceis de calcular.

Passo 2

Ideia geral (o que são diferenciais / aproximação linear):
  • Se temos uma função f que é diferenciável num ponto x_0, e queremos f(x_0+\Delta x) com \Delta x pequeno, podemos usar a aproximação linear (diferenciais):
f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\,\Delta x.
  • Aqui f'(x_0) é a derivada de f em x_0 e \Delta x é a variação do argumento.
  • Essa fórmula vem da expansão de Taylor de primeira ordem e é a base do método de diferenciais para aproximações rápidas na prova.

Passo 3

Escolha dos pontos de expansão (por que escolher onde expandir):
  • Para \sqrt[3]{26} vamos usar a função f(x)=x^{1/3}. É conveniente expandir em torno de x_0=27 porque 27 é um cubo perfeito ( 27=3^3) e f(27) é fácil de calcular.
  • Para \dfrac{1}{\sqrt{13}} vamos usar a função g(x)=x^{-1/2}. É conveniente expandir em torno de x_0=16 porque 16 é um quadrado perfeito ( 16=4^2) e g(16) é simples.

Passo 4

Derivadas das funções (fórmulas e significado das variáveis):
  • Para f(x)=x^{1/3} usamos a regra da potência. A derivada é
f'(x)=\frac{1}{3}x^{-2/3}.
Aqui x é o ponto onde avaliamos a derivada; f'(x) mede a taxa de variação de f em torno de x.
  • Para g(x)=x^{-1/2} também usamos a regra da potência. A derivada é
g'(x)=-\frac{1}{2}x^{-3/2}.
Novamente g'(x) diz quão rapidamente g muda quando x varia.

Passo 5

Aproximação de \sqrt[3]{26} passo a passo:
  • Tomamos f(x)=x^{1/3}, x_0=27 e \Delta x = 26-27=-1.
  • Avaliamos f(27) e f'(27):
f(27)=27^{1/3}=3, \qquad f'(27)=\frac{1}{3}\,27^{-2/3}.
  • Como 27^{1/3}=3 então 27^{2/3}=3^2=9. Assim
f'(27)=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{9}=\frac{1}{27}.
  • Pela fórmula linear:
\sqrt[3]{26}=f(26)\approx f(27)+f'(27)\Delta x=3+\frac{1}{27}\cdot(-1)=3-\frac{1}{27}.
  • Escrevendo como fração:
3-\frac{1}{27}=\frac{81-1}{27}=\frac{80}{27}\approx 2,96296296\ldots

Passo 6

Aproximação de \dfrac{1}{\sqrt{13}} passo a passo:
  • Tomamos g(x)=x^{-1/2}, x_0=16 e \Delta x = 13-16=-3.
  • Avaliamos g(16) e g'(16):
g(16)=16^{-1/2}=\frac{1}{4}, \qquad g'(16)=-\frac{1}{2}\,16^{-3/2}.
  • Como 16^{1/2}=4 então 16^{3/2}=4^3=64. Assim
g'(16)=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{64}=-\frac{1}{128}.
  • Pela fórmula linear:
\frac{1}{\sqrt{13}}=g(13)\approx g(16)+g'(16)\Delta x=\frac{1}{4}+ \left(-\frac{1}{128}\right)(-3).
  • Calculando a soma como fração:
\frac{1}{4}+\frac{3}{128}=\frac{32}{128}+\frac{3}{128}=\frac{35}{128}\approx 0,2734375.

Passo 7

Somando as aproximações:
  • Temos
\sqrt[3]{26}+\frac{1}{\sqrt{13}}\approx \frac{80}{27}+\frac{35}{128}.
  • Podemos somar como fração comum ou converter para decimal. Como fração comum:
\frac{80}{27}+\frac{35}{128}=\frac{80\cdot128 + 35\cdot27}{27\cdot128}=\frac{10240+945}{3456}=\frac{11185}{3456}.
  • Em decimal:
\frac{11185}{3456}\approx 3,23640046\ldots

Passo 8

Comentário sobre precisão e escolha dos pontos:
  • Expandimos em x_0=27 e x_0=16 porque são pontos com valores exatos fáceis ( 3 e 1/4).
  • Essas escolhas são razoáveis porque 26 está a distância 1 de 27 (pequena) e 13 está a distância 3 de 16. A aproximação será bastante boa; erro típico é do tamanho da segunda derivada vezes (\Delta x)^2, pequeno aqui.
  • Se você quiser maior precisão na prova, poderia escolher outras técnicas (por exemplo Newton) ou usar um ponto ainda mais próximo se for conveniente. Para este exercício, a aproximação por diferenciais é esperada e suficiente.

Resposta

3,2364

Exercícios relacionados