Use diferenciais para encontrar um valor aproximado de:
Passo 1
O que o enunciado pede: aproximar o valor de
usando diferenciais.
Informações dadas e relevantes: o número a ser usado na expressão é . Vamos considerar que a aproximação será feita em torno de um ponto simples e conhecido, que naturalmente é
. Não se faz nenhum outro pedido adicional no enunciado.
Informações dadas e relevantes: o número a ser usado na expressão é
Passo 2
Definimos a função que aparece na soma. Seja
Queremos aproximar
. Tomamos o ponto de expansão
(pois
tem raiz cúbica inteira) e definimos o incremento
Em notação de diferenciais, usaremos
para estimar a variação
.
Passo 3
Conceito usado (breve aula): diferenciais / linearização. Para uma função diferenciável
num ponto
, a aproximação linear (ou diferencial) diz que, para pequenos
,
Aqui
é a derivada de
em
e
é o pequeno incremento em
. A ideia é substituir a função por sua reta tangente em
. Essa é uma aproximação muito usada em provas quando
é pequeno (aqui
é pequeno).
Passo 4
Calculamos
. Calculamos cada termo separadamente usando que
:
Somando,
Passo 5
Calculamos a derivada
aplicando a regra da potência termo a termo. Para
, a derivada é
. Assim,
Agora avaliamos em
. Usamos
e
, então
.
Calculamos cada parcela:
Somando como frações com denominador
:
Passo 6
Usamos a aproximação linear:
Substituindo os valores encontrados, com
:
Calculamos o incremento:
Simplificando
dividindo numerador e denominador por
:
Se quisermos decimal, fazemos a divisão
que dá aproximadamente
(repetindo o ciclo 036458). Portanto
Passo 7
Somamos para obter a aproximação final. Em forma fracionária:
Se preferir decimal arredondado com
casas decimais: