Use diferenciais para encontrar um valor aproximado de:
(8,01)^{\frac{4}{3}}+(8,01)^{\frac{-1}{3}}+8,01

Passo 1

O que o enunciado pede: aproximar o valor de (8,01)^{\frac{4}{3}}+(8,01)^{\frac{-1}{3}}+8,01 usando diferenciais.
Informações dadas e relevantes: o número a ser usado na expressão é x=8,01. Vamos considerar que a aproximação será feita em torno de um ponto simples e conhecido, que naturalmente é a=8. Não se faz nenhum outro pedido adicional no enunciado.

Passo 2

Definimos a função que aparece na soma. Seja
f(x)=x^{\frac{4}{3}}+x^{-\frac{1}{3}}+x.
Queremos aproximar f(8,01). Tomamos o ponto de expansão a=8 (pois 8 tem raiz cúbica inteira) e definimos o incremento
dx=x-a=8,01-8=0,01.
Em notação de diferenciais, usaremos df para estimar a variação f(8,01)-f(8).

Passo 3

Conceito usado (breve aula): diferenciais / linearização. Para uma função diferenciável f num ponto a, a aproximação linear (ou diferencial) diz que, para pequenos dx,
f(a+dx)\approx f(a)+f'(a)\,dx.
Aqui f'(a) é a derivada de f em a e dx é o pequeno incremento em x. A ideia é substituir a função por sua reta tangente em a. Essa é uma aproximação muito usada em provas quando dx é pequeno (aqui dx=0,01 é pequeno).

Passo 4

Calculamos f(a)=f(8). Calculamos cada termo separadamente usando que \sqrt[3]{8}=2:
8^{\frac{4}{3}}=(8^{\frac{1}{3}})^{4}=2^{4}=16,
8^{-\frac{1}{3}}=\frac{1}{8^{\frac{1}{3}}}=\frac{1}{2}=0,5,
8=8.
Somando,
f(8)=16+0,5+8=24,5.

Passo 5

Calculamos a derivada f'(x) aplicando a regra da potência termo a termo. Para x^{\alpha}, a derivada é \alpha x^{\alpha-1}. Assim,
f'(x)=\frac{4}{3}x^{\frac{1}{3}}-\frac{1}{3}x^{-\frac{4}{3}}+1.
Agora avaliamos em x=8. Usamos 8^{\frac{1}{3}}=2 e 8^{\frac{4}{3}}=(8^{\frac{1}{3}})^{4}=2^{4}=16, então 8^{-\frac{4}{3}}=\dfrac{1}{16}.
f'(8)=\frac{4}{3}\cdot 2-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{16}+1.
Calculamos cada parcela:
\frac{4}{3}\cdot 2=\frac{8}{3}, \quad -\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{16}=-\frac{1}{48}, \quad 1=1.
Somando como frações com denominador 48:
\frac{8}{3}=\frac{128}{48},\qquad 1=\frac{48}{48},
f'(8)=\frac{128}{48}+\frac{48}{48}-\frac{1}{48}=\frac{128+48-1}{48}=\frac{175}{48}.

Passo 6

Usamos a aproximação linear:
f(8,01)\approx f(8)+f'(8)\,dx.
Substituindo os valores encontrados, com dx=0,01:
f(8,01)\approx 24,5+\frac{175}{48}\cdot 0,01.
Calculamos o incremento:
\frac{175}{48}\cdot 0,01=\frac{175}{48}\cdot\frac{1}{100}=\frac{175}{4800}.
Simplificando \dfrac{175}{4800} dividindo numerador e denominador por 25:
\frac{175}{4800}=\frac{7}{192}.
Se quisermos decimal, fazemos a divisão 7\div 192 que dá aproximadamente 0,036458333\ldots (repetindo o ciclo 036458). Portanto
f(8,01)\approx 24,5+\frac{7}{192}\approx 24,5+0,036458333\ldots

Passo 7

Somamos para obter a aproximação final. Em forma fracionária:
24,5+\frac{7}{192}=\frac{49}{2}+\frac{7}{192}.
Se preferir decimal arredondado com 6 casas decimais:
f(8,01)\approx 24,536458\\ (\text{aprox.}).

Resposta

\;24,536458333\ldots

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