Use diferenciais para encontrar um valor aproximado de:
Passo 1
O enunciado pede um valor aproximado de
.
Informações relevantes: o número a aproximar é e estamos procurando a sua raiz quinta, isto é, um
tal que
. Não há mais dados no enunciado.
Informações relevantes: o número a aproximar é
Passo 2
Ideia que vamos usar (sem resolver ainda): aproximar
a partir de um ponto próximo cujo valor exato conhecemos. Vou escolher o ponto
porque
é uma potência perfeita de
:
, então
. Isso facilita muito os cálculos.
Passo 3
Defino a função cuja raiz quinta queremos avaliar:
Explicando a técnica dos diferenciais (ou linearização), que é o coração da resolução: quando
muda um pouco, de
para
, a variação de
pode ser aproximada por
onde
é a derivada de
em
. Essa é a ideia de aproximar uma curva por sua reta tangente em
. Aqui
é o ponto conhecido e
é a pequena mudança em
.
Passo 4
Calculo a derivada de
. Usando a regra do poder (power rule): se
então
. Aplicando com
,
Aqui
significa
.
Passo 5
Agora avalio
e
no ponto
. Primeiro,
porque
. Em seguida,
Para simplificar
uso que
, então
. Assim
Explicando:
é a inclinação da reta tangente em
; numericamente é
.
Passo 6
A diferença em
que queremos é
. Pelo aproximador linear,
Portanto a aproximação para
é
Essa é a aproximação obtida pelo método dos diferenciais (linearização).
Passo 7
Verificação rápida (opcional, para ver o quão boa é a aproximação): calculo
usando o binômio
:
Ou seja,
, um pouco maior que
. Isso mostra que a aproximação
está muito próxima do valor exato, com erro na ordem de
no valor de
, o que corresponde a um erro na raiz bem menor (algumas unidades de
no próprio
). Se quiser uma aproximação ainda mais precisa, pode-se aplicar uma iteração de Newton a partir de
(que dá a mesma primeira correção) e depois outra iteração para refinar; isso leva ao valor aproximado
.