Use diferenciais para encontrar um valor aproximado de:
\sqrt[5]{33}

Passo 1

O enunciado pede um valor aproximado de \sqrt[5]{33}.
Informações relevantes: o número a aproximar é 33 e estamos procurando a sua raiz quinta, isto é, um y tal que y^5=33. Não há mais dados no enunciado.

Passo 2

Ideia que vamos usar (sem resolver ainda): aproximar \sqrt[5]{33} a partir de um ponto próximo cujo valor exato conhecemos. Vou escolher o ponto x_0=32 porque 32 é uma potência perfeita de 2: 32=2^5, então \sqrt[5]{32}=2. Isso facilita muito os cálculos.

Passo 3

Defino a função cuja raiz quinta queremos avaliar:
f(x)=x^{1/5}.
Explicando a técnica dos diferenciais (ou linearização), que é o coração da resolução: quando x muda um pouco, de x_0 para x_0+\Delta x, a variação de f pode ser aproximada por
\Delta y \approx f'(x_0)\,\Delta x,
onde f'(x_0) é a derivada de f em x_0. Essa é a ideia de aproximar uma curva por sua reta tangente em x_0. Aqui x_0 é o ponto conhecido e \Delta x é a pequena mudança em x.

Passo 4

Calculo a derivada de f. Usando a regra do poder (power rule): se f(x)=x^p então f'(x)=p\,x^{p-1}. Aplicando com p=\tfrac{1}{5},
f'(x)=\frac{1}{5}\,x^{-4/5}.
Aqui x^{-4/5} significa 1/x^{4/5}.

Passo 5

Agora avalio f e f' no ponto x_0=32. Primeiro,
f(32)=32^{1/5}=2,
porque 32=2^5. Em seguida,
f'(32)=\frac{1}{5}\,32^{-4/5}.
Para simplificar 32^{-4/5} uso que 32^{1/5}=2, então 32^{4/5}=(32^{1/5})^4=2^4=16. Assim
f'(32)=\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{16}=\frac{1}{80}.
Explicando: f'(32) é a inclinação da reta tangente em x=32; numericamente é \tfrac{1}{80}=0,0125.

Passo 6

A diferença em x que queremos é \Delta x=33-32=1. Pelo aproximador linear,
\Delta y \approx f'(32)\,\Delta x=\frac{1}{80}\cdot 1=\frac{1}{80}=0,0125.
Portanto a aproximação para f(33)=33^{1/5} é
f(33)\approx f(32)+\Delta y=2+\frac{1}{80}=2{,}0125.
Essa é a aproximação obtida pelo método dos diferenciais (linearização).

Passo 7

Verificação rápida (opcional, para ver o quão boa é a aproximação): calculo (2{,}0125)^5 usando o binômio (2+0{,}0125)^5:
(2+0{,}0125)^5=32+1+0{,}0125+0{,}000078125+\text{termos muito pequenos}\approx 33{,}012578369\dots
Ou seja, (2{,}0125)^5\approx 33{,}012578\dots, um pouco maior que 33. Isso mostra que a aproximação 2{,}0125 está muito próxima do valor exato, com erro na ordem de 1{,}2\times10^{-2} no valor de x^5, o que corresponde a um erro na raiz bem menor (algumas unidades de 10^{-4} no próprio y). Se quiser uma aproximação ainda mais precisa, pode-se aplicar uma iteração de Newton a partir de 2 (que dá a mesma primeira correção) e depois outra iteração para refinar; isso leva ao valor aproximado 2{,}0123466\dots.

Resposta

2{,}0125

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