Considere T=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid z \geq \sqrt{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 4 \mathrm{e} z \geq 1\right\} uma região do espaço e \vec{F}(x, y, z)=y \mathrm{e}^{z} \vec{i}+\left(y+\mathrm{e}^{z}\right) \vec{j}+z \vec{k} um campo vetorial que define, para cada (x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}, um vetor fluxo de calor. Calcule o fluxo de calor de \vec{F} através de T, justificando a orientação adotada.
A pergunta é: calcular o fluxo de calor de \vec{F} através de T, justificando a orientação adotada.\n
Informações relevantes fornecidas:
\text{(i) } \vec{F}\text{ definida em todo }\mathbb{R}^3; \qquad \text{(ii) } T \text{ é a parte do interior da esfera de raio }2\text{ que fica acima do cone }z=\sqrt{x^2+y^2}\text{ e com }z\ge1.
Não há figura anexada, mas a descrição algebraica é suficiente para determinar a região.
Passo 2
Escolha do método e justificativa (sem resolver ainda).\n
Quando queremos o fluxo através da superfície que é a fronteira de uma região volumétrica T, o Teorema da Divergência (Teorema de Gauss) costuma ser o método mais simples: ele transforma o cálculo de um fluxo de superfície em uma integral tripla do divergente sobre o volume. Vou usar esse método porque \vec{F} é suave em T e T é uma região volumétrica bem definida, então as hipóteses do teorema estão satisfeitas. Também vou justificar a orientação: pelo enunciado "fluxo de calor através de T" entendemos o fluxo através da fronteira \partial T com a orientação exterior (normais apontando para fora do volume), que é a orientação padrão no Teorema da Divergência.
Passo 3
Calcular o divergente de \vec{F}.\n
Vou aplicar a definição \mathrm{div}\,\vec{F}=\partial F_1/\partial x+\partial F_2/\partial y+\partial F_3/\partial z, onde F_1,y e F_3 são as componentes de \vec{F}.\n
As componentes são F_1 = y\mathrm{e}^{z}, F_2 = y+\mathrm{e}^{z}, F_3 = z. Então:
Isto é ótimo: o divergente é constante e igual a 2, o que simplifica muito a integral tripla.
Passo 4
Enunciado do Teorema da Divergência e orientação.\n
O Teorema da Divergência diz que, para a região T com fronteira suave \partial T orientada pela normal externa,
Escolho a orientação externa (normais apontando para fora do volume) porque é a orientação padrão e porque é coerente com o enunciado que pede o fluxo "através de T". Com \mathrm{div}\,\vec{F}=2 obtemos:
onde r\ge0, \varphi\in[0,\pi] é o ângulo com o eixo z e \theta\in[0,2\pi) é o ângulo azimutal. O elemento de volume vale dV=r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.\n
Vamos traduzir as três condições que definem T:
z\ge\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Em esféricas: r\cos\varphi \ge r\sin\varphi. Como r>0 podemos dividir por r e obter \cos\varphi \ge \sin\varphi, isto é \tan\varphi \le 1. Assim
\varphi \le \frac{\pi}{4}.
x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 4 é simplesmente r^{2}\le 4, então r\le 2.
z\ge 1 é r\cos\varphi \ge 1, isto é
r \ge \frac{1}{\cos\varphi}.
Agora, para cada \varphi com 0\le\varphi\le \pi/4 precisamos que exista r tal que 1/\cos\varphi \le r \le 2. Isso exige 1/\cos\varphi \le 2, ou \cos\varphi \ge 1/2, i.e. \varphi \le \operatorname{arccos}(1/2)=\pi/3. Como o cone impõe \varphi\le\pi/4 e \pi/4<\pi/3, a condição fica simplesmente