Considere T=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid z \geq \sqrt{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 4 \mathrm{e} z \geq 1\right\} uma região do espaço e \vec{F}(x, y, z)=y \mathrm{e}^{z} \vec{i}+\left(y+\mathrm{e}^{z}\right) \vec{j}+z \vec{k} um campo vetorial que define, para cada (x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}, um vetor fluxo de calor. Calcule o fluxo de calor de \vec{F} através de T, justificando a orientação adotada.

Passo 1

O enunciado dá a região
T=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid z\ge\sqrt{x^2+y^2},\; x^2+y^2+z^2\le 4,\; z\ge 1\}
e o campo vetorial
\vec{F}(x,y,z)=y\mathrm{e}^{z}\,\vec{i}+\bigl(y+\mathrm{e}^{z}\bigr)\,\vec{j}+z\,\vec{k}.
A pergunta é: calcular o fluxo de calor de \vec{F} através de T, justificando a orientação adotada.\n
Informações relevantes fornecidas:
\text{(i) } \vec{F}\text{ definida em todo }\mathbb{R}^3; \qquad \text{(ii) } T \text{ é a parte do interior da esfera de raio }2\text{ que fica acima do cone }z=\sqrt{x^2+y^2}\text{ e com }z\ge1.é
Não há figura anexada, mas a descrição algebraica é suficiente para determinar a região.

Passo 2

Escolha do método e justificativa (sem resolver ainda).\n
Quando queremos o fluxo através da superfície que é a fronteira de uma região volumétrica T, o Teorema da Divergência (Teorema de Gauss) costuma ser o método mais simples: ele transforma o cálculo de um fluxo de superfície em uma integral tripla do divergente sobre o volume. Vou usar esse método porque \vec{F} é suave em T e T é uma região volumétrica bem definida, então as hipóteses do teorema estão satisfeitas. Também vou justificar a orientação: pelo enunciado "fluxo de calor através de T" entendemos o fluxo através da fronteira \partial T com a orientação exterior (normais apontando para fora do volume), que é a orientação padrão no Teorema da Divergência.

Passo 3

Calcular o divergente de \vec{F}.\n
Vou aplicar a definição \mathrm{div}\,\vec{F}=\partial F_1/\partial x+\partial F_2/\partial y+\partial F_3/\partial z, onde F_1,y e F_3 são as componentes de \vec{F}.\n
As componentes são F_1 = y\mathrm{e}^{z}, F_2 = y+\mathrm{e}^{z}, F_3 = z. Então:
\frac{\partial F_1}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial F_2}{\partial y}=1,\qquad \frac{\partial F_3}{\partial z}=1.
Portanto
\mathrm{div}\,\vec{F}=0+1+1=2.
Isto é ótimo: o divergente é constante e igual a 2, o que simplifica muito a integral tripla.

Passo 4

Enunciado do Teorema da Divergência e orientação.\n
O Teorema da Divergência diz que, para a região T com fronteira suave \partial T orientada pela normal externa,
\iint_{\partial T} \vec{F}\cdot\vec{n}\,dS = \iiint_{T} \mathrm{div}\,\vec{F}\;dV.
Escolho a orientação externa (normais apontando para fora do volume) porque é a orientação padrão e porque é coerente com o enunciado que pede o fluxo "através de T". Com \mathrm{div}\,\vec{F}=2 obtemos:
\iint_{\partial T} \vec{F}\cdot\vec{n}\,dS = \iiint_{T} 2\,dV = 2\cdot \operatorname{Vol}(T).
Logo basta calcular o volume de T.

Passo 5

Descrever T em coordenadas esféricas e determinar os limites.\n
Usarei coordenadas esféricas (r,\varphi,\theta) com as convenções:
x=r\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=r\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=r\cos\varphi,
onde r\ge0, \varphi\in[0,\pi] é o ângulo com o eixo z e \theta\in[0,2\pi) é o ângulo azimutal. O elemento de volume vale dV=r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.\n
Vamos traduzir as três condições que definem T:
  1. z\ge\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Em esféricas: r\cos\varphi \ge r\sin\varphi. Como r>0 podemos dividir por r e obter \cos\varphi \ge \sin\varphi, isto é \tan\varphi \le 1. Assim
\varphi \le \frac{\pi}{4}.
  1. x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 4 é simplesmente r^{2}\le 4, então r\le 2.
  2. z\ge 1 é r\cos\varphi \ge 1, isto é
r \ge \frac{1}{\cos\varphi}.
Agora, para cada \varphi com 0\le\varphi\le \pi/4 precisamos que exista r tal que 1/\cos\varphi \le r \le 2. Isso exige 1/\cos\varphi \le 2, ou \cos\varphi \ge 1/2, i.e. \varphi \le \operatorname{arccos}(1/2)=\pi/3. Como o cone impõe \varphi\le\pi/4 e \pi/4<\pi/3, a condição fica simplesmente
0\le\varphi\le \frac{\pi}{4},\qquad \theta\in[0,2\pi],\qquad \frac{1}{\cos\varphi}\le r\le 2.
Portanto a região T em esféricas é
\{(r,\varphi,\theta)\mid 0\le\theta\le2\pi,\;0\le\varphi\le\pi/4,\;1/\cos\varphi\le r\le 2\}.

Passo 6

Calcular o volume \operatorname{Vol}(T) fazendo a integral tripla.\n
Escrevo a integral do volume em esféricas:
\operatorname{Vol}(T)=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/4}\int_{r=1/\cos\varphi}^{2} r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.
Faço a integral em r primeiro:
\int_{1/\cos\varphi}^{2} r^{2}\,dr = \left.\frac{r^{3}}{3}\right|_{r=1/\cos\varphi}^{2} = \frac{8 - \operatorname{sec}^{3}\varphi}{3}.
Então
\operatorname{Vol}(T)=\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{\pi/4}\frac{8-\operatorname{sec}^{3}\varphi}{3}\sin\varphi\,d\varphi = \frac{2\pi}{3}\int_{0}^{\pi/4}\bigl(8\sin\varphi - \operatorname{sec}^{3}\varphi\sin\varphi\bigr)\,d\varphi.
Agora separo as integrais:
I_1=\int_{0}^{\pi/4}8\sin\varphi\,d\varphi, \qquad I_2=\int_{0}^{\pi/4}\operatorname{sec}^{3}\varphi\sin\varphi\,d\varphi.
Calculo I_1:
I_1=8\bigl[-\cos\varphi\bigr]_{0}^{\pi/4}=8\bigl(-\cos(\pi/4)+\cos 0\bigr)=8\bigl(-\tfrac{\sqrt{2}}{2}+1\bigr)=8-4\sqrt{2}.
Calculo I_2 por substituição u=\cos\varphi, então du=-\sin\varphi\,d\varphi. Assim
I_2=\int_{0}^{\pi/4}\frac{\sin\varphi}{\cos^{3}\varphi}\,d\varphi = -\int_{u=\cos 0}^{u=\cos(\pi/4)} u^{-3}\,du = -\left[\frac{u^{-2}}{-2}\right]_{1}^{\sqrt{2}/2} = \left[\frac{1}{2u^{2}}\right]_{1}^{\sqrt{2}/2}.
Avaliando:
I_2=\frac{1}{2}\Bigl(\operatorname{sec}^{2}(\tfrac{\pi}{4})-\operatorname{sec}^{2}0\Bigr) =\frac{1}{2}\bigl(2-1\bigr)=\frac{1}{2}.
Portanto a integral interna vale
\int_{0}^{\pi/4}\bigl(8\sin\varphi - \operatorname{sec}^{3}\varphi\sin\varphi\bigr)\,d\varphi = I_1 - I_2 = \bigl(8-4\sqrt{2}\bigr)-\tfrac{1}{2} = \frac{15}{2}-4\sqrt{2}.
Multiplicando pelo fator \dfrac{2\pi}{3} obtemos o volume:
\operatorname{Vol}(T)=\frac{2\pi}{3}\left(\frac{15}{2}-4\sqrt{2}\right)=\frac{\pi}{3}\bigl(15-8\sqrt{2}\bigr).

Passo 7

Calcular o fluxo através de \partial T usando o resultado do Teorema da Divergência.\n
Como vimos,
\iint_{\partial T}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS = 2\cdot\operatorname{Vol}(T) = 2\cdot \frac{\pi}{3}\bigl(15-8\sqrt{2}\bigr) = \frac{2\pi}{3}\bigl(15-8\sqrt{2}\bigr).
Podemos também escrever em forma simplificada:
\frac{2\pi}{3}(15-8\sqrt{2}) = 10\pi - \frac{16\pi}{3}\sqrt{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{2\pi}{3}\bigl(15-8\sqrt{2}\bigr)

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