Em uma seleção de futebol, existem 8 jogadores de ataque, 6 de meio-campo, 6 defensores e 3 goleiros. Quantos times diferentes podem ser formados utili-zando-se 1 goleiro, 4 defensores, 3 meio-campistas e 3 atacantes?

Passo 1

O enunciado dá as quantidades de jogadores por posição e pede o número de times possíveis com uma seleção fixa de posições. Dados fornecidos:
  • 8 jogadores de ataque;
  • 6 jogadores de meio-campo;
  • 6 jogadores defensores;
  • 3 goleiros.
    Pergunta: quantos times diferentes podem ser formados escolhendo exatamente 1 goleiro, 4 defensores, 3 meio-campistas e 3 atacantes?

Passo 2

Ideia geral (explicação didática do raciocínio que usaremos):
  • Para cada posição escolhemos um subconjunto dos jogadores daquela posição (a ordem dentro da posição não importa: uma escalação com os mesmos jogadores é a mesma independentemente da ordem).
  • Quando fazemos escolhas independentes (escolha dos goleiros, dos defensores, dos meio-campistas e dos atacantes), o número total de possibilidades é o produto do número de possibilidades de cada escolha (princípio multiplicativo).
  • Para contar quantos subconjuntos de k elementos podemos escolher de um conjunto de n elementos usamos a combinação, também escrita como \binom{n}{k}.
    Vou agora explicar o que é \binom{n}{k} e como calcular sem pular etapas.

Passo 3

Definição e cálculo de combinação (aula rápida, sem jargões):
  • A combinação \binom{n}{k} conta o número de maneiras de escolher k objetos distintos entre n objetos, sem considerar a ordem.
  • Fórmula:
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}
onde ! (fatorial) significa multiplicar todos os inteiros positivos até aquele número. Por exemplo, 4! = 4\cdot3\cdot2\cdot1 = 24.
  • Um truque prático: ao calcular \binom{n}{k}, podemos simplificar a fração cancelando fatores em numerador e denominador para evitar grandes multiplicações desnecessárias.

Passo 4

Cálculo do número de escolhas de goleiro:
  • Temos 3 goleiros e precisamos escolher 1.
  • O número de maneiras é
\binom{3}{1} = \frac{3!}{1!(3-1)!} = \frac{3\cdot2\cdot1}{1\cdot(2\cdot1)} = 3.
Logo há \binom{3}{1} = 3 escolhas possíveis de goleiro.

Passo 5

Cálculo do número de escolhas de defensores:
  • Temos 6 defensores e precisamos escolher 4.
  • Observação útil: \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}. Assim
\binom{6}{4} = \binom{6}{2}.
  • Calcule \binom{6}{2} simplificando:
\binom{6}{2} = \frac{6\cdot5}{2\cdot1} = \frac{30}{2} = 15.
Portanto \binom{6}{4} = 15.

Passo 6

Cálculo do número de escolhas de meio-campistas:
  • Temos 6 meio-campistas e precisamos escolher 3.
  • Use a fórmula e simplifique cancelando:
\binom{6}{3} = \frac{6\cdot5\cdot4}{3\cdot2\cdot1}.
Calcule passo a passo: 6\cdot5\cdot4 = 120 e 3\cdot2\cdot1 = 6; então
\binom{6}{3} = \frac{120}{6} = 20.

Passo 7

Cálculo do número de escolhas de atacantes:
  • Temos 8 atacantes e precisamos escolher 3.
  • Use a fórmula simplificando desde o início:
\binom{8}{3} = \frac{8\cdot7\cdot6}{3\cdot2\cdot1}.
Calcule passo a passo: primeiro simplificamos 6 do numerador com 3\cdot2 do denominador, ficando \frac{8\cdot7\cdot1}{1} = 56.
Portanto \binom{8}{3} = 56.

Passo 8

Aplicando o princípio multiplicativo (juntando as escolhas):
  • As escolhas em cada posição são independentes, então o número total de times é o produto das combinações calculadas:
\binom{3}{1}\cdot\binom{6}{4}\cdot\binom{6}{3}\cdot\binom{8}{3} = 3\cdot15\cdot20\cdot56.
  • Podemos simplificar passo a passo sem calculadora: 15\cdot20 = 300, então temos 3\cdot300\cdot56 = 3\cdot16800.
    (O resultado final será obtido multiplicando 16800 por 3.)

Resposta

50400

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