Em uma seleção de futebol, existem 8 jogadores de ataque, 6 de meio-campo, 6 defensores e 3 goleiros. Quantos times diferentes podem ser formados utili-zando-se 1 goleiro, 4 defensores, 3 meio-campistas e 3 atacantes?
Passo 1
O enunciado dá as quantidades de jogadores por posição e pede o número de times possíveis com uma seleção fixa de posições. Dados fornecidos:
- há
jogadores de ataque; - há
jogadores de meio-campo; - há
jogadores defensores; - há
goleiros.
Pergunta: quantos times diferentes podem ser formados escolhendo exatamentegoleiro, defensores, meio-campistas e atacantes?
Passo 2
Ideia geral (explicação didática do raciocínio que usaremos):
- Para cada posição escolhemos um subconjunto dos jogadores daquela posição (a ordem dentro da posição não importa: uma escalação com os mesmos jogadores é a mesma independentemente da ordem).
- Quando fazemos escolhas independentes (escolha dos goleiros, dos defensores, dos meio-campistas e dos atacantes), o número total de possibilidades é o produto do número de possibilidades de cada escolha (princípio multiplicativo).
- Para contar quantos subconjuntos de
elementos podemos escolher de um conjunto de elementos usamos a combinação, também escrita como .
Vou agora explicar o que ée como calcular sem pular etapas.
Passo 3
Definição e cálculo de combinação (aula rápida, sem jargões):
- A combinação
conta o número de maneiras de escolher objetos distintos entre objetos, sem considerar a ordem. - Fórmula:
onde
(fatorial) significa multiplicar todos os inteiros positivos até aquele número. Por exemplo,
.
- Um truque prático: ao calcular
, podemos simplificar a fração cancelando fatores em numerador e denominador para evitar grandes multiplicações desnecessárias.
Passo 4
Cálculo do número de escolhas de goleiro:
- Temos
goleiros e precisamos escolher . - O número de maneiras é
Logo há
escolhas possíveis de goleiro.
Passo 5
Cálculo do número de escolhas de defensores:
- Temos
defensores e precisamos escolher . - Observação útil:
. Assim
- Calcule
simplificando:
Portanto
.
Passo 6
Cálculo do número de escolhas de meio-campistas:
- Temos
meio-campistas e precisamos escolher . - Use a fórmula e simplifique cancelando:
Calcule passo a passo:
e
; então
Passo 7
Cálculo do número de escolhas de atacantes:
- Temos
atacantes e precisamos escolher . - Use a fórmula simplificando desde o início:
Calcule passo a passo: primeiro simplificamos
do numerador com
do denominador, ficando
.
Portanto .
Portanto
Passo 8
Aplicando o princípio multiplicativo (juntando as escolhas):
- As escolhas em cada posição são independentes, então o número total de times é o produto das combinações calculadas:
- Podemos simplificar passo a passo sem calculadora:
, então temos .
(O resultado final será obtido multiplicandopor .)
Resposta
50400