Qual o resto da divisão de x^{4}-2 x^{3}+x^{2}-x+1 por x+1 ?

Passo 1

O enunciado pede o resto da divisão do polinômio x^{4}-2x^{3}+x^{2}-x+1 pelo polinômio x+1.
Informações dadas e pontos importantes que extraí do enunciado:
  • O polinômio dividendo é P(x)=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-x+1.
  • O divisor é x+1.
  • O divisor é um polinômio linear (grau 1).

Passo 2

Conceito útil (explicado passo a passo): quando dividimos um polinômio P(x) por um polinômio linear da forma x-a, o resto é um número constante igual a P(a).
Por que isso vale? Vou provar de forma simples e intuitiva:
P(x)=(x-a)Q(x)+r,
onde Q(x) é o quociente (um polinômio) e r é o resto (uma constante), isso é a divisão euclidiana de polinômios. Se agora substituímos x=a na expressão acima, o termo (x-a)Q(x) vira zero porque x-a=0. Assim obtemos
P(a)=r.
Ou seja, o resto da divisão por x-a é exatamente P(a).
No nosso caso o divisor é x+1, que pode ser escrito como x-(-1). Portanto aqui a=-1 e o resto será P(-1).

Passo 3

Agora vou calcular P(-1) substituindo x=-1 em P(x)=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-x+1. Faço termo a termo, mostrando as potências e sinais:
(-1)^{4}=1,
-2(-1)^{3}=-2\cdot(-1)=2,
(-1)^{2}=1,
-(-1)=1,
e o último termo é +1.
Somando todos os termos:
P(-1)=1+2+1+1+1.

Passo 4

Faço a soma final passo a passo:
1+2=3,
3+1=4,
4+1=5,
5+1=6.
Logo P(-1)=6. Portanto o resto da divisão é 6.

Passo 5

Verificação alternativa (opcional, para você ter mais confiança): posso confirmar o mesmo resultado usando a divisão sintética com a raiz a=-1. Coeficientes de P(x): 1,\,-2,\,1,\,-1,\,1.
Procedimento (linha a linha):
  • Trago o 1 para baixo.
  • Multiplico por -1 e somo à coluna seguinte: -1 somado a -2 -3.
  • Multiplico -3 por -1 e somo: 3+1=4.
  • Multiplico 4 por -1 e somo: -4+(-1)=-5.
  • Multiplico -5 por -1 e somo: 5+1=6.
O último número 6 é o resto da divisão, que confirma o cálculo anterior.

Resposta

6

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