Qual o resto da divisão de
por
?
Passo 1
O enunciado pede o resto da divisão do polinômio
pelo polinômio
.
Informações dadas e pontos importantes que extraí do enunciado:
- O polinômio dividendo é
. - O divisor é
. - O divisor é um polinômio linear (grau
).
Passo 2
Conceito útil (explicado passo a passo): quando dividimos um polinômio
por um polinômio linear da forma
, o resto é um número constante igual a
.
Por que isso vale? Vou provar de forma simples e intuitiva:
onde
é o quociente (um polinômio) e
é o resto (uma constante), isso é a divisão euclidiana de polinômios. Se agora substituímos
na expressão acima, o termo
vira zero porque
. Assim obtemos
Ou seja, o resto da divisão por
é exatamente
.
No nosso caso o divisor é
, que pode ser escrito como
. Portanto aqui
e o resto será
.
Passo 3
Agora vou calcular
substituindo
em
. Faço termo a termo, mostrando as potências e sinais:
e o último termo é
.
Somando todos os termos:
Passo 4
Faço a soma final passo a passo:
Logo
. Portanto o resto da divisão é
.
Passo 5
Verificação alternativa (opcional, para você ter mais confiança): posso confirmar o mesmo resultado usando a divisão sintética com a raiz
. Coeficientes de
:
.
Procedimento (linha a linha):
- Trago o
para baixo. - Multiplico por
e somo à coluna seguinte: somado a dá . - Multiplico
por e somo: . - Multiplico
por e somo: . - Multiplico
por e somo: .
O último número
é o resto da divisão, que confirma o cálculo anterior.