Use o dispositivo de Briot-Ruffini por dividir:
5 x^{6}+4 x^{3}+8 x^{2}+x+7 por x-2

Passo 1

O enunciado pede para dividir o polinômio 5x^{6}+4x^{3}+8x^{2}+x+7 pelo binômio x-2 usando o dispositivo de Briot–Ruffini (divisão sintética).
Informações extraídas do enunciado que vamos usar:
  • Polinômio a dividir: 5x^{6}+4x^{3}+8x^{2}+x+7.
  • Divisor: x-2, cujo zero é 2.
  • Para aplicar Briot–Ruffini precisamos listar todos os coeficientes do polinômio em ordem decrescente de grau, preenchendo com zeros onde faltam termos. Assim os coeficientes são, do grau 6 ao 0: \,5,\;0,\;0,\;4,\;8,\;1,\;7\,.

Passo 2

O que é o dispositivo de Briot–Ruffini (divisão sintética) e por que funciona:
  • Dividir um polinômio por x-c pode ser feito trazendo os coeficientes para uma “tabela” e usando apenas multiplicações e somas.
  • O número c é a raiz de x-c; aqui c=2.
  • Procedimento resumido: traz-se o primeiro coeficiente para baixo (esse será o coeficiente líder do quociente), multiplica-se esse valor por c, soma-se ao próximo coeficiente, repete-se o processo coluna a coluna. O último número que aparecer é o resto. Os números intermediários (exceto o último) são os coeficientes do quociente, em ordem decrescente de grau.
    Vou aplicar isso passo a passo com os coeficientes \,5,\;0,\;0,\;4,\;8,\;1,\;7\, e c=2.

Passo 3

Coluna 1: trazemos o primeiro coeficiente para baixo sem alteração.
  • Primeiro coeficiente: 5.
  • Colocado no quociente como coeficiente de x^{5} (porque o quociente terá grau 6-1=5).
    Assim o primeiro número do processo é \;5.

Passo 4

Coluna 2: multiplicação e adição com o segundo coeficiente.
  • Multiplica-se o número que trouxemos ( 5) por c=2: 5\cdot 2 = 10.
  • Soma-se esse produto ao segundo coeficiente original (que é 0): 0 + 10 = 10.
  • Esse 10 é o segundo coeficiente do quociente (coeficiente de x^{4}) e também servirá para o próximo passo.

Passo 5

Coluna 3: próximo multiplicar/somar.
  • Multiplica-se o 10 por 2: 10\cdot 2 = 20.
  • Soma-se ao terceiro coeficiente original (que é 0): 0 + 20 = 20.
  • Esse 20 é o coeficiente do quociente de x^{3}.

Passo 6

Coluna 4: continuar o mesmo processo.
  • Multiplica-se 20 por 2: 20\cdot 2 = 40.
  • Soma-se ao quarto coeficiente original (que é 4): 4 + 40 = 44.
  • Esse 44 é o coeficiente do quociente de x^{2}.

Passo 7

Coluna 5: próxima operação.
  • Multiplica-se 44 por 2: 44\cdot 2 = 88.
  • Soma-se ao quinto coeficiente original (que é 8): 8 + 88 = 96.
  • Esse 96 é o coeficiente do quociente de x^{1}.

Passo 8

Coluna 6: próxima operação.
  • Multiplica-se 96 por 2: 96\cdot 2 = 192.
  • Soma-se ao sexto coeficiente original (que é 1): 1 + 192 = 193.
  • Esse 193 é o coeficiente do quociente do termo constante (coeficiente de x^{0}).

Passo 9

Coluna 7 (final): obtemos o resto.
  • Multiplica-se 193 por 2: 193\cdot 2 = 386.
  • Soma-se ao sétimo (último) coeficiente original (que é 7): 7 + 386 = 393.
  • Esse último número 393 é o resto da divisão.

Passo 10

Interpretação final dos números obtidos:
  • Os coeficientes do quociente, em ordem, foram \,5,\;10,\;20,\;44,\;96,\;193\,. Isso corresponde ao polinômio quociente
5x^{5}+10x^{4}+20x^{3}+44x^{2}+96x+193.
  • O resto é 393.
    Verificação rápida (cheque que sempre funciona): o resto deveria ser igual a P(2), onde P(x)=5x^{6}+4x^{3}+8x^{2}+x+7. Calculando P(2):
P(2)=5\cdot 2^{6}+4\cdot 2^{3}+8\cdot 2^{2}+1\cdot 2+7 =5\cdot 64 + 4\cdot 8 + 8\cdot 4 + 2 + 7 =320 + 32 + 32 + 2 + 7 = 393,
que coincide com o resto encontrado — boa confirmação.
Dica rápida para a prova: sempre liste zeros para termos ausentes, use c igual à raiz do divisor x-c, e faça uma checagem final com P\text{(c)}.

Resposta

Quociente: 5x^{5}+10x^{4}+20x^{3}+44x^{2}+96x+193
Resto: 393

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