Calcule os termos de ( x-a)^{8} com dois metodos.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular os termos da expressão (x-a)^{8} usando dois métodos diferentes. Informações dadas: a expressão (x-a)^{8} já está explícita; não há números adicionais. Vou apresentar duas maneiras para expandir este binómio e explicar passo a passo como chegar aos coeficientes e aos sinais.

Passo 2

Método 1 — Teorema do binómio (explicação teórica). O Teorema do Binómio diz que, para inteiro não-negativo n,
(x+y)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{\,n-k}y^{\,k},
onde \binom{n}{k} é o coeficiente binomial, dado por
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.
Aqui queremos (x-a)^{8}. Podemos ver isso como (x+(-a))^{8}. Assim, substituindo y=-a e n=8,
(x-a)^{8}=\sum_{k=0}^{8}\binom{8}{k}x^{\,8-k}(-a)^{k}=\sum_{k=0}^{8}\binom{8}{k}(-1)^{k}x^{\,8-k}a^{k}.
Agora precisamos dos coeficientes \binom{8}{k} para k=0,\dots,8. Vou calcular de forma prática (sem escrever 8! completo):
\binom{8}{0}=1, \qquad \binom{8}{1}=8, \qquad \binom{8}{2}=\frac{8\cdot7}{2}=28,
\binom{8}{3}=\frac{8\cdot7\cdot6}{3\cdot2\cdot1}=56, \qquad \binom{8}{4}=\frac{8\cdot7\cdot6\cdot5}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=70.
Os restantes são simétricos: \binom{8}{5}=\binom{8}{3}=56, \binom{8}{6}=\binom{8}{2}=28, \binom{8}{7}=\binom{8}{1}=8, \binom{8}{8}=\binom{8}{0}=1.
Aplicando os sinais (-1)^{k} e colocando os termos na ordem decrescente de potência de x, obtemos a expansão pelo Teorema do Binómio.

Passo 3

Método 1 — Montagem final (aplicando os coeficientes obtidos). Substituindo os coeficientes e os sinais:
(x-a)^{8}=x^{8}-8a x^{7}+28a^{2}x^{6}-56a^{3}x^{5}+70a^{4}x^{4}-56a^{5}x^{3}+28a^{6}x^{2}-8a^{7}x+a^{8}.

Passo 4

Método 2 — Potenciação por quadraturas sucessivas (idéia). Uma alternativa prática sem usar diretamente a fórmula de fatoriais é calcular primeiro (x-a)^{2}, depois elevar ao quadrado para obter (x-a)^{4}, e novamente elevar ao quadrado para obter (x-a)^{8}. Este método usa multiplicações e somas, e mostra como os coeficientes surgem automaticamente.

Passo 5

Calcular (x-a)^{2}:
(x-a)^{2}=x^{2}-2ax+a^{2}.

Passo 6

Calcular (x-a)^{4}=\bigl((x-a)^{2}\bigr)^{2}. Seja u=x^{2}, v=-2ax, w=a^{2}. Então
(u+v+w)^{2}=u^{2}+v^{2}+w^{2}+2uv+2uw+2vw.
Substituindo:
u^{2}=x^{4},\qquad v^{2}=4a^{2}x^{2},\qquad w^{2}=a^{4},
2uv=2x^{2}(-2ax)=-4ax^{3},\qquad 2uw=2x^{2}a^{2}=2a^{2}x^{2},\qquad 2vw=2(-2ax)a^{2}=-4a^{3}x.
Somando os termos semelhantes:
(x-a)^{4}=x^{4}-4a x^{3}+(4a^{2}x^{2}+2a^{2}x^{2})-4a^{3}x+a^{4},
ou seja
(x-a)^{4}=x^{4}-4a x^{3}+6a^{2}x^{2}-4a^{3}x+a^{4}.

Passo 7

Calcular (x-a)^{8}=\bigl((x-a)^{4}\bigr)^{2}. Seja agora
p=x^{4},\quad q=-4a x^{3},\quad r=6a^{2}x^{2},\quad s=-4a^{3}x,\quad t=a^{4}.
Queremos (p+q+r+s+t)^{2}. Usamos a soma dos quadrados mais duas vezes a soma dos produtos distintos. É mais prático agrupar por potências de x:
  • Termo em x^{8}: vem de p^{2}, dá 1\cdot x^{8}.
  • Termo em x^{7}: vem de 2pq: 2\cdot x^{4}\cdot(-4a x^{3})=-8a x^{7}.
  • Termo em x^{6}: vem de q^{2} e 2pr: q^{2}=16a^{2}x^{6}, 2pr=2\cdot x^{4}\cdot6a^{2}x^{2}=12a^{2}x^{6}; soma 16+12=28 em a^{2}x^{6}.
  • Termo em x^{5}: vem de 2ps e 2qr: 2ps=2\cdot x^{4}\cdot(-4a^{3}x)=-8a^{3}x^{5}; 2qr=2\cdot(-4a x^{3})\cdot6a^{2}x^{2}=-48a^{3}x^{5}; soma -8-48=-56 em a^{3}x^{5}.
  • Termo em x^{4}: vem de r^{2}, 2qt (não, 2qt x^{3}), 2qs e 2pt: r^{2}=36a^{4}x^{4}, 2qs=2\cdot(-4a x^{3})\cdot(-4a^{3}x)=32a^{4}x^{4}, 2pt=2\cdot x^{4}\cdot a^{4}=2a^{4}x^{4}. Soma 36+32+2=70 em a^{4}x^{4}.
  • Termo em x^{3}: vem de 2qt e 2rs: 2qt=2\cdot(-4a x^{3})\cdot a^{4}=-8a^{5}x^{3}; 2rs=2\cdot6a^{2}x^{2}\cdot(-4a^{3}x)=-48a^{5}x^{3}. Soma -8-48=-56 em a^{5}x^{3}.
  • Termo em x^{2}: vem de s^{2} e 2rt: s^{2}=16a^{6}x^{2}, 2rt=2\cdot6a^{2}x^{2}\cdot a^{4}=12a^{6}x^{2}. Soma 16+12=28 em a^{6}x^{2}.
  • Termo em x: vem de 2st: 2\cdot(-4a^{3}x)\cdot a^{4}=-8a^{7}x.
  • Termo constante: t^{2}=a^{8}.
Somando todos os termos, obtemos exatamente os mesmos coeficientes do Método 1:
(x-a)^{8}=x^{8}-8a x^{7}+28a^{2}x^{6}-56a^{3}x^{5}+70a^{4}x^{4}-56a^{5}x^{3}+28a^{6}x^{2}-8a^{7}x+a^{8}.

Resposta

(x-a)^{8}=x^{8}-8a x^{7}+28a^{2}x^{6}-56a^{3}x^{5}+70a^{4}x^{4}-56a^{5}x^{3}+28a^{6}x^{2}-8a^{7}x+a^{8}.

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