Calcule os termos de (
com dois metodos.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular os termos da expressão
usando dois métodos diferentes. Informações dadas: a expressão
já está explícita; não há números adicionais. Vou apresentar duas maneiras para expandir este binómio e explicar passo a passo como chegar aos coeficientes e aos sinais.
Passo 2
Método 1 — Teorema do binómio (explicação teórica). O Teorema do Binómio diz que, para inteiro não-negativo
,
onde
é o coeficiente binomial, dado por
Aqui queremos
. Podemos ver isso como
. Assim, substituindo
e
,
Agora precisamos dos coeficientes
para
. Vou calcular de forma prática (sem escrever
completo):
Os restantes são simétricos:
,
,
,
.
Aplicando os sinais
e colocando os termos na ordem decrescente de potência de
, obtemos a expansão pelo Teorema do Binómio.
Passo 3
Método 1 — Montagem final (aplicando os coeficientes obtidos). Substituindo os coeficientes e os sinais:
Passo 4
Método 2 — Potenciação por quadraturas sucessivas (idéia). Uma alternativa prática sem usar diretamente a fórmula de fatoriais é calcular primeiro
, depois elevar ao quadrado para obter
, e novamente elevar ao quadrado para obter
. Este método usa multiplicações e somas, e mostra como os coeficientes surgem automaticamente.
Passo 5
Calcular
:
Passo 6
Calcular
. Seja
,
,
. Então
Substituindo:
Somando os termos semelhantes:
ou seja
Passo 7
Calcular
. Seja agora
Queremos
. Usamos a soma dos quadrados mais duas vezes a soma dos produtos distintos. É mais prático agrupar por potências de
:
- Termo em
: vem de , dá . - Termo em
: vem de : . - Termo em
: vem de e : , ; soma em . - Termo em
: vem de e : ; ; soma em . - Termo em
: vem de , (não, dá ), e : , , . Soma em . - Termo em
: vem de e : ; . Soma em . - Termo em
: vem de e : , . Soma em . - Termo em
: vem de : . - Termo constante:
.
Somando todos os termos, obtemos exatamente os mesmos coeficientes do Método 1: