Use o dispositivo de Briot-Ruffini por dividir:
x^{3}-2 \mathrm{x}^{2}+9 por \mathrm{x}+2

Passo 1

O enunciado pede dividir o polinómio \,x^{3}-2x^{2}+9\, pelo binômio \,x+2\, usando o dispositivo de Briot–Ruffini (divisão sintética).
Informações dadas e o que se quer obter:
  • O dividendo é \,x^{3}-2x^{2}+0x+9\, (repare que o termo em x está ausente — isso gera um coeficiente zero).
  • O divisor é \,x+2\,.
  • Precisamos encontrar o quociente e o resto da divisão.

Passo 2

Explicando o método Briot–Ruffini (divisão sintética) de forma simples e prática: em vez de dividir por \,x+2\, diretamente, usa‑se a raiz do binômio x+2, ou seja o número \,-2. Esse número é colocado à esquerda e em seguida trabalhamos apenas com os coeficientes do polinómio. A ideia é:
  • escrever os coeficientes do dividendo em ordem de graus;
  • “trazer para baixo” o primeiro coeficiente como início do quociente;
  • multiplicar esse valor pelo número \,-2 e somar ao próximo coeficiente;
  • repetir multiplicação e soma até terminar; o último valor obtido é o resto.

Passo 3

Identificar os coeficientes do dividendo (em ordem decrescente dos graus). Do polinómio \,x^{3}-2x^{2}+0x+9\, os coeficientes são:
1,\; -2,\; 0,\; 9.

Passo 4

Montar a linha de divisão sintética com -2 à esquerda e os coeficientes à direita. Vamos executar passo a passo.
Passo inicial: trazemos para baixo o primeiro coeficiente 1. Esse será o coeficiente de \,x^{2} no quociente.
\text{Primeiro coeficiente do quociente} = 1.

Passo 5

Multiplicamos esse 1 por -2 e somamos ao próximo coeficiente -2:
1 \times (-2) = -2.
-2 + (-2) = -4.
Esse -4 é o segundo coeficiente do quociente (correspondente a -4x).

Passo 6

Continuamos: multiplicamos -4 por -2 e somamos ao próximo coeficiente 0:
-4 \times (-2) = 8.
8 + 0 = 8.
Esse 8 é o terceiro coeficiente do quociente (correspondente a +8, termo constante do quociente antes do resto).

Passo 7

Finalmente, multiplicamos esse 8 por -2 e somamos ao último coeficiente 9 para obter o resto:
8 \times (-2) = -16.
-16 + 9 = -7.
Esse -7 é o resto da divisão.

Passo 8

Agora construímos o quociente a partir dos coeficientes obtidos 1,\\\ -4,\\\ 8. Eles correspondem, em ordem, aos termos de grau 2,1,0. Então o quociente é
x^{2}-4x+8,
e o resto é -7.

Passo 9

(Faixa de verificação didática) Uma checagem simples: o resto de dividir por x+2 deve ser P(-2), onde P(x)=x^{3}-2x^{2}+9. Calculando:
P(-2)=(-2)^{3}-2(-2)^{2}+9 = -8 - 8 + 9 = -7,
confirma que o resto -7 está correto. Boa! Isso mostra que a divisão foi feita sem erro.

Resposta

Quociente: x^{2}-4x+8
Resto: -7

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