Use o a eliminação de Gaus - Jordan para classificar os sistemas abaixo em compatíveis e determinados, compatíveis e indeterminados ou incompatíveis
b)
d)
\left\{\begin{array}{l}x-y-z=0 \\\ 2 x+2 y+2 z=0 \x-2 y-2 z=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\begin{cases} x-y-z=0,\\[4pt] 2x+2y+2z=0,\\[4pt] x-2y-2z=0, \end{cases}
e pede que a gente classifique o sistema como:
  • compatível e determinado (uma única solução),
  • compatível e indeterminado (infinitas soluções), ou
  • incompatível (nenhuma solução).
Informações relevantes fornecidas:
\text{equações: }\; \begin{array}{l} x-y-z=0,\\[2pt] 2x+2y+2z=0,\\[2pt] x-2y-2z=0. \end{array}çõ
Queremos usar eliminação de Gauss–Jordan para reduzir o sistema e, a partir disso, decidir a compatibilidade e, se houver soluções, escrever a solução geral.]

Passo 2

Vamos representar o sistema pela matriz aumentada (coeficientes à esquerda, coluna dos termos constantes à direita). A matriz aumentada é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & -1 & 0\\[4pt] 2 & 2 & 2 & 0\\[4pt] 1 & -2 & -2 & 0 \end{array}\right].
Explicação rápida: a linha 1 corresponde à equação \;x-y-z=0, etc. Trabalhar com a matriz aumentada facilita aplicar operações elementares por linhas.]

Passo 3

Lembremos das operações elementares por linhas válidas (essas não mudam o conjunto solução):
  1. trocar duas linhas, 2) multiplicar uma linha por escalar não nulo, 3) somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
Escolho pivô em coluna 1 usando a linha 1 (já tem 1 como entrada). Elimino abaixo do pivô:
  • R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1
  • R_3 \leftarrow R_3 - R_1
Calculemos:
R_2 - 2R_1:\; [2,2,2,0]-2[1,-1,-1,0]=[0,4,4,0].
R_3 - R_1:\; [1,-2,-2,0]-[1,-1,-1,0]=[0,-1,-1,0].
A matriz vira
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 4 & 4 & 0\\[4pt] 0 & -1 & -1 & 0 \end{array}\right].]

Passo 4

Agora vamos obter um pivô na coluna 2. Divido a linha 2 por 4 para tornar o pivô igual a 1:
R_2 \leftarrow \frac{1}{4}R_2 \quad\Rightarrow\quad R_2=[0,1,1,0].
A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -1 & -1 & 0 \end{array}\right].]

Passo 5

Aplicamos Gauss–Jordan para eliminar as outras entradas na coluna 2 (tornar zeros acima e abaixo do pivô da coluna 2):
  • R_1 \leftarrow R_1 + R_2 para zerar o -1 em R_1 na coluna 2.
  • R_3 \leftarrow R_3 + R_2 para zerar o -1 em R_3 na coluna 2.
Calculemos:
R_1 + R_2:\; [1,-1,-1,0]+[0,1,1,0]=[1,0,0,0].
R_3 + R_2:\; [0,-1,-1,0]+[0,1,1,0]=[0,0,0,0].
A matriz reduzida é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].
Isto já está em forma reduzida (Gauss–Jordan): pivôs são 1 nas colunas 1 e 2; a terceira linha é zero.]

Passo 6

Interpretação das equações correspondentes à matriz reduzida:
  • Da linha 1: \;x=0.
  • Da linha 2: \;y+z=0, ou seja \;y=-z.
  • A linha 3 não impõe restrição (é 0=0).
Observações sobre posto (rank):
  • O posto da matriz dos coeficientes é \;2 (duas linhas pivô).
  • O posto da matriz aumentada também é \;2 (nenhuma contradição 0=b com b\neq0).
  • Como o posto ( 2) é menor que o número de incógnitas ( 3), o sistema é compatível e tem infinitas soluções (uma família com um parâmetro livre).
Escolhemos parâmetro para a incógnita livre: seja \;z=t com \;t\in\mathbb{R}. Então
y=-z=-t,\qquad x=0.
Solução geral em forma paramétrica:
(x,y,z)=(0,-t,t)=t(0,-1,1),\quad t\in\mathbb{R}.

Passo 7

Conclusão final e explicação intuitiva curta:
  • O sistema é homogêneo (todos termos constantes são zero), por isso sempre tem a solução trivial (0,0,0).
  • Como encontramos uma relação livre (uma coluna sem pivô, a coluna de \;z), há uma direção não-trivial de soluções; portanto há infinitas soluções: é uma reta de soluções passando pela origem, gerada pelo vetor (0,-1,1).
  • Classificação: compatível e indeterminado (infinitas soluções).

Resposta

Compatível e indeterminado.
(x,y,z)=(0,-t,t),\;t\in\mathbb{R}.

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