Use o a eliminação de Gaus - Jordan para classificar os sistemas abaixo em compatíveis e determinados, compatíveis e indeterminados ou incompatíveis
b)
d)
Queremos usar eliminação de Gauss–Jordan para reduzir o sistema e, a partir disso, decidir a compatibilidade e, se houver soluções, escrever a solução geral.]
Passo 2
Vamos representar o sistema pela matriz aumentada (coeficientes à esquerda, coluna dos termos constantes à direita). A matriz aumentada é
Explicação rápida: a linha 1 corresponde à equação \;x-y-z=0, etc. Trabalhar com a matriz aumentada facilita aplicar operações elementares por linhas.]
Passo 3
Lembremos das operações elementares por linhas válidas (essas não mudam o conjunto solução):
trocar duas linhas, 2) multiplicar uma linha por escalar não nulo, 3) somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
Escolho pivô em coluna 1 usando a linha 1 (já tem 1 como entrada). Elimino abaixo do pivô:
Isto já está em forma reduzida (Gauss–Jordan): pivôs são 1 nas colunas 1 e 2; a terceira linha é zero.]
Passo 6
Interpretação das equações correspondentes à matriz reduzida:
Da linha 1: \;x=0.
Da linha 2: \;y+z=0, ou seja \;y=-z.
A linha 3 não impõe restrição (é 0=0).
Observações sobre posto (rank):
O posto da matriz dos coeficientes é \;2 (duas linhas pivô).
O posto da matriz aumentada também é \;2 (nenhuma contradição 0=b com b\neq0).
Como o posto (2) é menor que o número de incógnitas (3), o sistema é compatível e tem infinitas soluções (uma família com um parâmetro livre).
Escolhemos parâmetro para a incógnita livre: seja \;z=t com \;t\in\mathbb{R}. Então
y=-z=-t,\qquad x=0.
Solução geral em forma paramétrica:
(x,y,z)=(0,-t,t)=t(0,-1,1),\quad t\in\mathbb{R}.
Passo 7
Conclusão final e explicação intuitiva curta:
O sistema é homogêneo (todos termos constantes são zero), por isso sempre tem a solução trivial (0,0,0).
Como encontramos uma relação livre (uma coluna sem pivô, a coluna de \;z), há uma direção não-trivial de soluções; portanto há infinitas soluções: é uma reta de soluções passando pela origem, gerada pelo vetor (0,-1,1).
Classificação: compatível e indeterminado (infinitas soluções).
Resposta
Compatível e indeterminado. (x,y,z)=(0,-t,t),\;t\in\mathbb{R}.