Use o a eliminação de Gaus - Jordan para classificar os sistemas abaixo em compatíveis e determinados, compatíveis e indeterminados ou incompatíveis
a)
\left\{\begin{array}{l}2 x+y+5 z=1 \\\ 5 y-z=-15 \\\ -x+2 y+3 z=-8\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\left\{\begin{array}{l} 2x+y+5z=1\\[4pt] 5y-z=-15\\[4pt] -x+2y+3z=-8 \end{array}\right.
O que o exercício pede: classificar o sistema como
  • compatível e determinado (tem uma única solução),
  • compatível e indeterminado (tem infinitas soluções), ou
  • incompatível (não tem solução).
Informações relevantes do enunciado:
  • São três equações e três incógnitas x,y,z.
  • Vamos usar eliminação de Gauss–Jordan (redução por linhas no formato reduzido, RREF) para decidir a consistência e, se houver, obter a solução.]

Passo 2

Vamos escrever a matriz aumentada do sistema. A matriz associada às incógnitas x,y,z com a coluna dos termos constantes é:
\begin{pmatrix} 2 & 1 & 5 & \vline & 1\\[4pt] 0 & 5 & -1 & \vline & -15\\[4pt] -1 & 2 & 3 & \vline & -8 \end{pmatrix}
Explicando: cada linha corresponde a uma equação; por exemplo, a primeira linha (2,1,5\mid1) vem de 2x+y+5z=1. Note que na segunda equação não aparece x, por isso o primeiro elemento da segunda linha é 0.]

Passo 3

Lembrando as operações elementares de linha (válidas porque não mudam o conjunto de soluções):
  1. trocar duas linhas,
  2. multiplicar uma linha por um escalar não nulo,
  3. somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
Vamos escolher um pivô na primeira coluna. Para simplificar cálculos, troco a linha 1 com a linha 3, obtendo:
\begin{pmatrix} -1 & 2 & 3 & \vline & -8\\[4pt] 0 & 5 & -1 & \vline & -15\\[4pt] 2 & 1 & 5 & \vline & 1 \end{pmatrix}
Agora multiplico a nova linha 1 por -1 (operação válida) para ter pivô 1 na primeira coluna:
\begin{pmatrix} 1 & -2 & -3 & \vline & 8\\[4pt] 0 & 5 & -1 & \vline & -15\\[4pt] 2 & 1 & 5 & \vline & 1 \end{pmatrix}]

Passo 4

Elimino o elemento 2 abaixo do pivô da primeira coluna (na linha 3). Faço R_3 := R_3 - 2R_1. Cálculo elemento a elemento:
  • coluna 1: 2 - 2\cdot1 = 0,
  • coluna 2: 1 - 2\cdot(-2) = 1 + 4 = 5,
  • coluna 3: 5 - 2\cdot(-3) = 5 + 6 = 11,
  • termo constante: 1 - 2\cdot8 = 1 - 16 = -15.
Então a matriz vira
\begin{pmatrix} 1 & -2 & -3 & \vline & 8\\[4pt] 0 & 5 & -1 & \vline & -15\\[4pt] 0 & 5 & 11 & \vline & -15 \end{pmatrix}]

Passo 5

Agora vamos trabalhar na segunda coluna. Podemos usar R_2 como linha pivô (tem o valor 5 na coluna 2). Primeiro simplifico R_2 dividindo-a por 5: R_2 := \tfrac{1}{5}R_2. O resultado é
\begin{pmatrix} 1 & -2 & -3 & \vline & 8\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{1}{5} & \vline & -3\\[4pt] 0 & 5 & 11 & \vline & -15 \end{pmatrix}
Explicação didática: dividir a linha por 5 torna o pivô igual a 1, o que facilita zerar os outros elementos da coluna e alcançar a forma reduzida.]

Passo 6

Elimino os outros elementos da segunda coluna usando R_2.
a) Para zerar o -2 em R_1 faço R_1 := R_1 + 2R_2.
Cálculos:
  • coluna 1: 1 + 2\cdot0 = 1,
  • coluna 2: -2 + 2\cdot1 = 0,
  • coluna 3: -3 + 2\cdot(-\tfrac{1}{5}) = -3 - \tfrac{2}{5} = -\tfrac{15}{5} - \tfrac{2}{5} = -\tfrac{17}{5},
  • termo constante: 8 + 2\cdot(-3) = 8 -6 = 2.
b) Para zerar o 5 em R_3 faço R_3 := R_3 - 5R_2.
Cálculos:
  • coluna 1: 0 -5\cdot0 =0,
  • coluna 2: 5 -5\cdot1 =0,
  • coluna 3: 11 -5\cdot(-\tfrac{1}{5}) = 11 -5\cdot(-\tfrac{1}{5}) = 11 +1 =12,
  • termo constante: -15 -5\cdot(-3) = -15 +15 = 0.
A matriz passa a ser
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -\tfrac{17}{5} & \vline & 2\\[6pt] 0 & 1 & -\tfrac{1}{5} & \vline & -3\\[6pt] 0 & 0 & 12 & \vline & 0 \end{pmatrix}]

Passo 7

Agora tratamos a terceira coluna. Temos na linha 3 o elemento 12 na coluna 3; dividimos R_3 por 12 para obter o pivô 1: R_3 := \tfrac{1}{12}R_3. Isso dá
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -\tfrac{17}{5} & \vline & 2\\[6pt] 0 & 1 & -\tfrac{1}{5} & \vline & -3\\[6pt] 0 & 0 & 1 & \vline & 0 \end{pmatrix}
Explicando o motivo: um pivô igual a 1 facilita zerar os outros elementos da coluna e alcançar a forma reduzida por linhas (RREF), onde cada coluna de variável tem exatamente um 1 e zeros nas outras posições.]

Passo 8

Elimino os elementos acima do pivô em coluna 3 para obter a forma reduzida.
a) Zerando a entrada -\tfrac{17}{5} em R_1: faço R_1 := R_1 + \tfrac{17}{5}R_3.
Como R_3 tem constante 0, o termo constante de R_1 permanece 2. O coeficiente de z fica -\tfrac{17}{5} + \tfrac{17}{5}\cdot1 =0. Assim R_1 vira (1,0,0\mid2).
b) Zerando a entrada -\tfrac{1}{5} em R_2: faço R_2 := R_2 + \tfrac{1}{5}R_3.
De novo, como R_3 tem constante 0, o termo constante de R_2 permanece -3. O coeficiente de z fica -\tfrac{1}{5} + \tfrac{1}{5}\cdot1 = 0. Assim R_2 vira (0,1,0\mid -3).
Agora a matriz está em forma reduzida:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \vline & 2\\[6pt] 0 & 1 & 0 & \vline & -3\\[6pt] 0 & 0 & 1 & \vline & 0 \end{pmatrix}]

Passo 9

Interpretação da forma reduzida: cada linha dá diretamente o valor de uma incógnita:
  • primeira linha \Rightarrow x = 2,
  • segunda linha \Rightarrow y = -3,
  • terceira linha \Rightarrow z = 0.
Como chegamos a uma solução única (uma tripla (x,y,z) bem determinada), o sistema é compatível e possui solução única, isto é, é compatível e determinado. Eu sei que você estava preocupado — mas deu certinho: nenhuma linha virou algo do tipo (0\\\ 0\\\ 0 \mid c) com c\neq0 (o que indicaria incompatibilidade) e não ficou nenhuma variável livre (o que indicaria infinitas soluções).

Resposta

Compatível e determinado

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