Use o a eliminação de Gaus - Jordan para classificar os sistemas abaixo em compatíveis e determinados, compatíveis e indeterminados ou incompatíveis
a)
Explicando: cada linha corresponde a uma equação; por exemplo, a primeira linha (2,1,5\mid1) vem de 2x+y+5z=1. Note que na segunda equação não aparece x, por isso o primeiro elemento da segunda linha é 0.]
Passo 3
Lembrando as operações elementares de linha (válidas porque não mudam o conjunto de soluções):
trocar duas linhas,
multiplicar uma linha por um escalar não nulo,
somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
Vamos escolher um pivô na primeira coluna. Para simplificar cálculos, troco a linha 1 com a linha 3, obtendo:
Agora vamos trabalhar na segunda coluna. Podemos usar R_2 como linha pivô (tem o valor 5 na coluna 2). Primeiro simplifico R_2 dividindo-a por 5: R_2 := \tfrac{1}{5}R_2. O resultado é
Agora tratamos a terceira coluna. Temos na linha 3 o elemento 12 na coluna 3; dividimos R_3 por 12 para obter o pivô 1: R_3 := \tfrac{1}{12}R_3. Isso dá
Explicando o motivo: um pivô igual a 1 facilita zerar os outros elementos da coluna e alcançar a forma reduzida por linhas (RREF), onde cada coluna de variável tem exatamente um 1 e zeros nas outras posições.]
Passo 8
Elimino os elementos acima do pivô em coluna 3 para obter a forma reduzida.
a) Zerando a entrada -\tfrac{17}{5} em R_1: faço R_1 := R_1 + \tfrac{17}{5}R_3.
Como R_3 tem constante 0, o termo constante de R_1 permanece 2. O coeficiente de z fica -\tfrac{17}{5} + \tfrac{17}{5}\cdot1 =0. Assim R_1 vira (1,0,0\mid2).
b) Zerando a entrada -\tfrac{1}{5} em R_2: faço R_2 := R_2 + \tfrac{1}{5}R_3.
De novo, como R_3 tem constante 0, o termo constante de R_2 permanece -3. O coeficiente de z fica -\tfrac{1}{5} + \tfrac{1}{5}\cdot1 = 0. Assim R_2 vira (0,1,0\mid -3).
Interpretação da forma reduzida: cada linha dá diretamente o valor de uma incógnita:
primeira linha \Rightarrow x = 2,
segunda linha \Rightarrow y = -3,
terceira linha \Rightarrow z = 0.
Como chegamos a uma solução única (uma tripla (x,y,z) bem determinada), o sistema é compatível e possui solução única, isto é, é compatível e determinado. Eu sei que você estava preocupado — mas deu certinho: nenhuma linha virou algo do tipo (0\\\ 0\\\ 0 \mid c) com c\neq0 (o que indicaria incompatibilidade) e não ficou nenhuma variável livre (o que indicaria infinitas soluções).