Sistemas de equações lineares cujas as matrizes são triangulares (superiores ou inferiores) dispensam processo de eliminação de Gauss-Jordan, pois as soluções de cada incógnita são obtidas a partir das outras de forma iterativa. Resolva um desses tais sistemas (neste caso repare que
você usa substituições retroativas. Se o sistema fosse triangular inferior, usaria substituições sucessivas)
\left\{\begin{array}{l} 5 x_{1}-2 x_{2}+6 x_{3}+x_{4}=1 \\ 3 x_{2}+7 x_{3}-4 x_{4}=-2 \\ 4 x_{3}+5 x_{4}=28 \\ 2 x_{4}=8 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema de quatro equações lineares e pede que você encontre os valores das incógnitas x_{1}\), \(x_{2}\), \(x_{3}\) e \(x_{4}\). As equações fornecidas são: \[\begin{cases} 5x_{1}-2x_{2}+6x_{3}+x_{4}=1,\\[4pt] 3x_{2}+7x_{3}-4x_{4}=-2,\\[4pt] 4x_{3}+5x_{4}=28,\\[4pt] 2x_{4}=8. \end{cases}
O que se pede: determinar explicitamente (;x_{1},x_{2},x_{3},x_{4};] que satisfazem todas as equações simultaneamente.]

Passo 2

Observação importante (sem resolver ainda): a última equação dá diretamente uma única incógnita isolada: \;2x_{4}=8\;. Quando uma equação envolve somente uma incógnita com um coeficiente não nulo, podemos achar essa incógnita dividindo ambos os lados pelo coeficiente. Esse é o primeiro passo prático: descobrir \;x_{4}\; diretamente e depois usar esse valor nas equações acima para encontrar as outras incógnitas por substituição regressiva (ou retroativa). Vou aplicar isso passo a passo, explicando cada operação.

Passo 3

Resolver a equação mais simples para \;x_{4}:
A equação é
2x_{4}=8.
Dividindo ambos os lados por 2 (pois 2\neq0) obtemos
x_{4}=\frac{8}{2}=4.
Explicação curta: dividir ambos os lados preserva a igualdade e isola a incógnita.

Passo 4

Usar o valor de \;x_{4}\; na terceira equação para encontrar \;x_{3}.
A terceira equação é
4x_{3}+5x_{4}=28.
Substituindo \;x_{4}=4\; temos
4x_{3}+5\cdot 4=28.
Calcule o termo 5\cdot 4:
4x_{3}+20=28.
Agora subtrai-se 20 dos dois lados para isolar o termo com x_{3}:
4x_{3}=28-20=8.
Divide-se ambos os lados por 4 (pois 4\neq0):
x_{3}=\frac{8}{4}=2.
Pequena interpretação: primeiro substituímos valores já conhecidos, depois simplificamos com soma/subtração, e por fim dividimos pelo coeficiente de x_{3}.

Passo 5

Agora usamos \;x_{3}=2\; e \;x_{4}=4\; na segunda equação para achar \;x_{2}.
A segunda equação é
3x_{2}+7x_{3}-4x_{4}=-2.
Substituindo os valores:
3x_{2}+7\cdot 2-4\cdot 4=-2.
Calcule os produtos:
3x_{2}+14-16=-2.
Some 14-16:
3x_{2}-2=-2.
Some 2 aos dois lados para isolar 3x_{2}:
3x_{2}= -2 + 2 = 0.
Divida por 3:
x_{2}=\frac{0}{3}=0.
Comentário: quando o resultado para o termo com a incógnita é zero, a incógnita vale zero — simples assim.

Passo 6

Finalmente, usamos \;x_{2}=0, \;x_{3}=2 e \;x_{4}=4 na primeira equação para encontrar \;x_{1}.
A primeira equação é
5x_{1}-2x_{2}+6x_{3}+x_{4}=1.
Substituindo:
5x_{1}-2\cdot 0 + 6\cdot 2 + 4 = 1.
Calcule os termos:
5x_{1} + 0 + 12 + 4 = 1,
portanto
5x_{1}+16=1.
Subtrai 16 dos dois lados:
5x_{1}=1-16=-15.
Divide por 5:
x_{1}=\frac{-15}{5}=-3.
Interpretação: seguimos a mesma rotina de substituir valores conhecidos, simplificar constantes, isolar o termo com a incógnita e dividir pelo coeficiente.

Passo 7

Verificação rápida (substituir todas as soluções nas equações originais para checar consistência):
  1. Primeira equação: com \;x_{1}=-3,\;x_{2}=0,\;x_{3}=2,\;x_{4}=4\;,
5(-3)-2(0)+6(2)+4 = -15 + 0 + 12 + 4 = 1,
confere com o lado direito 1.
  1. Segunda equação:
3(0)+7(2)-4(4) = 0 + 14 - 16 = -2,
confere com -2.
  1. Terceira equação:
4(2)+5(4) = 8 + 20 = 28,
confere com 28.
  1. Quarta equação:
2(4)=8,
confere com 8.
Todas as equações são satisfeitas, portanto a solução está correta.

Passo 8

Resumo didático e dica para a prova: quando o sistema é triangular superior (como aqui, em que a última equação envolve só x_{4}, a anterior envolve x_{3} e possivelmente x_{4}, e assim por diante), use substituição retroativa: resolva a última incógnita isolada, substitua no nível anterior, repita até achar todas. Sempre verifique se os coeficientes diagonais são não nulos (se houver um zero você precisa reordenar equações ou usar outra técnica). Respira fundo — você fez certo!

Resposta

x_{1}=-3
x_{2}=0
x_{3}=2
x_{4}=4

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