Use eliminação gaussiana e aritmética com arredondamento para dois dígitos para resolver os seguintes sistemas lineares. Não reordene as equações. (A solução exata de cada sistema é x_{1}=1, x_{2}=-1, x_{3}=3.)
\left\{\begin{array}{l} 4 x_{1}-x_{2}+x_{3}=8 \\\\ 2 x_{1}+5 x_{2}+2 x_{3}=3 \\\ x_{1}+2 x_{2}+4 x_{3}=11 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\begin{cases} 4x_{1}-x_{2}+x_{3}=8,\\[4pt] 2x_{1}+5x_{2}+2x_{3}=3,\\[4pt] x_{1}+2x_{2}+4x_{3}=11, \end{cases}
e pede para resolver usando eliminação de Gauss, fazendo a aritmética com arredondamento para duas casas decimais (duas casas decimais significa que, em cada operação em que for preciso arredondar, esse arredondamento será para a forma a,bb). A solução exata fornecida é x_{1}=1,\;x_{2}=-1,\;x_{3}=3; vamos procurar essa solução seguindo passo a passo a eliminação com arredondamentos.]

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada do sistema (colocando o termo independente na última coluna):
\left[\begin{array}{ccc|c} 4 & -1 & 1 & 8\\[4pt] 2 & 5 & 2 & 3\\[4pt] 1 & 2 & 4 & 11 \end{array}\right].
Idéia da eliminação: usar a primeira linha para zerar os elementos abaixo do pivô a_{11}=4. Para zerar uma entrada a_{i1} usamos o multiplicador
m_{i1}=\frac{a_{i1}}{a_{11}},
e fazemos R_i \leftarrow R_i - m_{i1}R_1. Sempre que calcularmos um número novo, arredondaremos para duas casas decimais.]

Passo 3

Calculamos os multiplicadores da coluna 1:
m_{21}=\frac{2}{4}=0,5\quad\Rightarrow\quad m_{21}=0,50,
m_{31}=\frac{1}{4}=0,25\quad\Rightarrow\quad m_{31}=0,25.
(Arredondamento aqui é trivial: 0,50 e 0,25.)

Passo 4

Aplicamos R_2 \leftarrow R_2 - m_{21}R_1 e R_3 \leftarrow R_3 - m_{31}R_1. Fazendo cada componente e arredondando para duas casas decimais:
Para R_2:
\begin{aligned} a_{21}'&=2-0{,}50\cdot4=2-2=0,\\[4pt] a_{22}'&=5-0{,}50\cdot(-1)=5-(-0{,}50)=5+0{,}50=5{,}50,\\[4pt] a_{23}'&=2-0{,}50\cdot1=2-0{,}50=1{,}50,\\[4pt] b_{2}'&=3-0{,}50\cdot8=3-4=-1\quad\Rightarrow\quad-1{,}00. \end{aligned}
Para R_3:
\begin{aligned} a_{31}'&=1-0{,}25\cdot4=1-1=0,\\[4pt] a_{32}'&=2-0{,}25\cdot(-1)=2-(-0{,}25)=2+0{,}25=2{,}25,\\[4pt] a_{33}'&=4-0{,}25\cdot1=4-0{,}25=3{,}75,\\[4pt] b_{3}'&=11-0{,}25\cdot8=11-2=9\quad\Rightarrow\quad9{,}00. \end{aligned}
A matriz aumentada agora (com valores arredondados) é
\left[\begin{array}{ccc|c} 4 & -1 & 1 & 8\\[4pt] 0 & 5{,}50 & 1{,}50 & -1{,}00\\[4pt] 0 & 2{,}25 & 3{,}75 & 9{,}00 \end{array}\right].]

Passo 5

Agora usamos o pivô a_{22}=5{,}50 para zerar a entrada a_{32}=2{,}25. Calculamos o multiplicador
m_{32}=\frac{a_{32}}{a_{22}}=\frac{2{,}25}{5{,}50}\approx0{,}409090\ldots
Arredondando para duas casas decimais obtemos m_{32}=0{,}41.

Passo 6

Aplicamos R_3 \leftarrow R_3 - m_{32}R_2 com m_{32}=0{,}41. Calculamos cada entrada (multiplicações e subtrações com arredondamento final para duas casas):
Produto m_{32}\cdot a_{23}=0{,}41\cdot1{,}50=0{,}615 arredondado para duas casas dá 0{,}62 se arredondarmos neste produto; porém para consistência costuma-se multiplicar e só então arredondar o resultado final da linha. Aqui vou mostrar os números exatos do produto e depois arredondar o resultado final da linha a duas casas:
  • a_{33}''=3{,}75-0{,}41\cdot1{,}50=3{,}75-0{,}615=3{,}135\Rightarrow arredondando para duas casas: 3{,}14.
  • b_{3}''=9{,}00-0{,}41\cdot(-1{,}00)=9{,}00-(-0{,}41)=9{,}41 (já com duas casas).
Depois dessa operação a terceira linha fica
[\,0\;,\;0\;,\;3{,}14\;|\;9{,}41\,].
A matriz triangular obtida é
\left[\begin{array}{ccc|c} 4 & -1 & 1 & 8\\[4pt] 0 & 5{,}50 & 1{,}50 & -1{,}00\\[4pt] 0 & 0 & 3{,}14 & 9{,}41 \end{array}\right].]

Passo 7

Agora fazemos substituição regressiva. Para a última equação (linha 3) a fórmula para x_{3} é
x_{3}=\frac{b_{3}''}{a_{33}''}=\frac{9{,}41}{3{,}14}.
Calculando \dfrac{9{,}41}{3{,}14}\approx2{,}9968\ldots. Arredondando para duas casas obtemos
x_{3}=3{,}00.

Passo 8

Usamos a segunda linha para achar x_{2}. A equação é
5{,}50\,x_{2}+1{,}50\,x_{3}=-1{,}00.
Substituindo x_{3}=3{,}00:
5{,}50\,x_{2}+1{,}50\cdot3{,}00=-1{,}00
5{,}50\,x_{2}+4{,}50=-1{,}00
5{,}50\,x_{2}=-1{,}00-4{,}50=-5{,}50
x_{2}=\frac{-5{,}50}{5{,}50}=-1{,}00.

Passo 9

Finalmente usamos a primeira equação para x_{1}. A equação é
4x_{1}-x_{2}+x_{3}=8.
Substituindo x_{2}=-1{,}00 e x_{3}=3{,}00:
4x_{1}-(-1{,}00)+3{,}00=8
4x_{1}+1{,}00+3{,}00=8
4x_{1}+4{,}00=8
4x_{1}=4{,}00
x_{1}=1{,}00.

Resposta

x_{1}=1{,}00
x_{2}=-1{,}00
x_{3}=3{,}00