Use o elipsóide
para responder os itens abaixo.
Obtenha uma equação do traço no plano
. Determine a qual cônica este traço corresponde e identifique todos os seus elementos no plano correspondente.
Obtenha uma equação do traço no plano
Passo 1
O enunciado dá o elipsóide
e pede a “fatia” (traço) dessa superfície pelo plano
. O conteúdo envolvido é obter a interseção de um quadrático com um plano (substituição) e reconhecer a curva resultante (seção cônica), depois identificar seus elementos: centro, eixos, vértices, focos, excentricidade e diretrizes.
Passo 2
Substituímos
na equação do elipsóide:
Como
, temos
Passo 3
Para pôr em forma padrão de uma cônica, dividimos ambos os lados por
:
Esta é a equação de uma elipse no plano paralelo ao plano
em que
.
Passo 4
Comparando com
, vemos que
Logo é uma elipse com:
Centro:
.
Eixos principais:
Eixos principais:
- Eixo maior ao longo da direção
, comprimento . - Eixo menor ao longo da direção
, comprimento .
Vértices:
,
.
Para os focos, calculamos
então
A excentricidade é
As diretrizes são as retas paralelas ao eixo
(no plano
), dadas por
Resposta
Equação do traço:
Trata-se de uma elipse com centro em
, semi-eixos
(eixo maior em
),
(eixo menor em
), vértices
e
, focos
, excentricidade
e diretrizes
.