Use o elipsóide 4 x^{2}+9 y^{2}+18 z^{2}=72 para responder os itens abaixo.
Obtenha uma equação do traço no plano z=\sqrt{2}. Determine a qual cônica este traço corresponde e identifique todos os seus elementos no plano correspondente.

Passo 1

O enunciado dá o elipsóide
4x^{2}+9y^{2}+18z^{2}=72
e pede a “fatia” (traço) dessa superfície pelo plano z=\sqrt{2}. O conteúdo envolvido é obter a interseção de um quadrático com um plano (substituição) e reconhecer a curva resultante (seção cônica), depois identificar seus elementos: centro, eixos, vértices, focos, excentricidade e diretrizes.

Passo 2

Substituímos z=\sqrt{2} na equação do elipsóide:
4x^{2}+9y^{2}+18\bigl(\sqrt{2}\bigr)^{2}=72.
Como \bigl(\sqrt{2}\bigr)^{2}=2, temos
4x^{2}+9y^{2}+18\cdot2 = 72 \quad\Longrightarrow\quad 4x^{2}+9y^{2}+36=72 \quad\Longrightarrow\quad 4x^{2}+9y^{2}=36.

Passo 3

Para pôr em forma padrão de uma cônica, dividimos ambos os lados por 36:
\frac{4x^{2}}{36} + \frac{9y^{2}}{36} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1.
Esta é a equação de uma elipse no plano paralelo ao plano xy em que z=\sqrt{2}.

Passo 4

Comparando com \displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, vemos que
a^{2}=9,\quad b^{2}=4 \quad\Longrightarrow\quad a=3,\;b=2,\;a>b.
Logo é uma elipse com:
Centro: \bigl(0,0,\sqrt{2}\bigr).
Eixos principais:
  • Eixo maior ao longo da direção x, comprimento 2a=6.
  • Eixo menor ao longo da direção y, comprimento 2b=4.
Vértices:
\bigl(\pm a,0,\sqrt{2}\bigr) = (\pm3,0,\sqrt{2}),
\bigl(0,\pm b,\sqrt{2}\bigr) = (0,\pm2,\sqrt{2}).
Para os focos, calculamos
c^{2}=a^{2}-b^{2}=9-4=5 \quad\Longrightarrow\quad c=\sqrt{5},
então
\text{Focos: }(\pm c,0,\sqrt{2}) = (\pm\sqrt{5},0,\sqrt{2}).
A excentricidade é
e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}.
As diretrizes são as retas paralelas ao eixo y (no plano z=\sqrt2), dadas por
x=\pm\frac{a}{e} = \pm\frac{9}{\sqrt{5}}.

Resposta

Equação do traço:
\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1 \quad\text{em }z=\sqrt{2}.
Trata-se de uma elipse com centro em \bigl(0,0,\sqrt2\bigr), semi-eixos a=3 (eixo maior em x), b=2 (eixo menor em y), vértices (\pm3,0,\sqrt2) e (0,\pm2,\sqrt2), focos (\pm\sqrt5,0,\sqrt2), excentricidade e=\tfrac{\sqrt5}{3} e diretrizes x=\pm\tfrac{9}{\sqrt5}.

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