Use o elipsóide 4 x^{2}+9 y^{2}+18 z^{2}=72 para responder os itens abaixo.
Obtenha uma equação do traço no plano x=3. Determine a qual cônica este traço corresponde e identifique todos os seus elementos no plano correspondente.

Passo 1

O enunciado nos dá o elipsóide
4x^{2}+9y^{2}+18z^{2}=72
e pede o traço desta superfície no plano x=3. O conteúdo é seção cônica por corte de um quadriculado, e vamos precisar simplesmente substituir x=3 na equação e depois reconhecer o tipo de cônica e seus elementos.

Passo 2

Substituindo x=3 em 4x^{2}+9y^{2}+18z^{2}=72 vem
4\cdot3^{2}+9y^{2}+18z^{2}=72
36+9y^{2}+18z^{2}=72
9y^{2}+18z^{2}=36.
Dividindo ambos os lados por 36 obtemos a forma padrão:
\frac{9y^{2}}{36}+\frac{18z^{2}}{36}=1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{y^{2}}{4}+\frac{z^{2}}{2}=1.

Passo 3

A equação
\frac{y^{2}}{4}+\frac{z^{2}}{2}=1
é a forma canônica de uma elipse no plano de coordenadas (y,z), pois os dois termos têm sinais positivos e soma igual a 1.

Passo 4

Na seção x=3 usamos o sistema de eixos (y,z). Os elementos da elipse são:
\bullet Centro: \bigl(y_{0},z_{0}\bigr)=(0,0) no plano x=3, isto é, ponto (3,0,0) no espaço.
\bullet Semi-eixo maior: a=2 ao longo do eixo y.
\bullet Semi-eixo menor: b=\sqrt{2} ao longo do eixo z.

Passo 5

Ainda no plano x=3:
\bullet Vértices principais (no eixo y): (y,z)=(\pm2,0), ou seja (3,\pm2,0).
\bullet Co-vértices (no eixo z): (y,z)=(0,\pm\sqrt{2}), ou seja (3,0,\pm\sqrt{2}).
\bullet Distância focal c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{4-2}=\sqrt{2}.
\bullet Focos: (y,z)=(\pm\sqrt{2},0), isto é (3,\pm\sqrt{2},0).
\bullet Excentricidade:
e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}.
\bullet Diretrizes: retas y=\pm\frac{a}{e}=\pm2\sqrt{2} no plano x=3.

Resposta

Equação do traço:
\frac{y^{2}}{4}+\frac{z^{2}}{2}=1.
É uma elipse de centro (3,0,0), semi-eixos a=2 (eixo y) e b=\sqrt{2} (eixo z), vértices em (3,\pm2,0), co-vértices em (3,0,\pm\sqrt{2}), focos em (3,\pm\sqrt{2},0), excentricidade e=\tfrac{\sqrt{2}}{2} e diretrizes y=\pm2\sqrt{2} no plano x=3.

Exercícios relacionados