Encontre os autovalores e os autovetores da matriz A=\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\\\ 2 & 4\end{array}\right]. Verifique que o traço é igual à soma dos autovalores e o determinante é igual ao seu produto.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os autovalores e autovetores da matriz
A = \begin{pmatrix}1 & -1 \\\\ 2 & 4\end{pmatrix}
e verificar que o traço de A é igual à soma dos autovalores e o determinante de A é igual ao produto deles. O conteúdo envolvido é encontrar o polinômio característico, resolver para \lambda e, em seguida, achar os autovetores associados.

Passo 2

Para achar os autovalores, montamos o polinômio característico
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} 1-\lambda & -1\\\\ 2 & 4-\lambda \end{pmatrix} = (1-\lambda)(4-\lambda) - (-1)\cdot 2 = \lambda^2 -5\lambda +6.
Igualando a zero,
\lambda^2 -5\lambda +6 =0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda = \frac{5\pm\sqrt{25-24}}{2} = \frac{5\pm1}{2},
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\lambda_1 = 3, \quad \lambda_2 = 2.

Passo 3

Para \lambda_1 = 3, resolvemos (A-3I)v=0, ou seja
\begin{pmatrix} 1-3 & -1\\\\ 2 & 4-3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 & -1\\\ 2 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} =0.
Da primeira equação -2x - y = 0 vem y = -2x. Um autovetor correspondente é
v_1 = \begin{pmatrix}1\\\ -2\end{pmatrix}.

Passo 4

Para \lambda_2 = 2, resolvemos (A-2I)v=0, ou seja
\begin{pmatrix} 1-2 & -1\\\\ 2 & 4-2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 & -1\\\ 2 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} =0.
Da primeira equação -x - y = 0 vem y = -x. Um autovetor correspondente é
v_2 = \begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}.

Passo 5

Calculamos o traço e o determinante de A:
\mathrm{tr}(A) = 1 + 4 = 5, \quad \det(A) = 1\cdot 4 - (-1)\cdot 2 = 6.
E os autovalores satisfazem
\lambda_1 + \lambda_2 = 3 + 2 = 5 = \mathrm{tr}(A), \quad \lambda_1 \,\lambda_2 = 3 \cdot 2 = 6 = \det(A).

Resposta

\lambda_1 = 3 com autovetor v_1 = \begin{pmatrix}1\\\ -2\end{pmatrix}.
\lambda_2 = 2 com autovetor v_2 = \begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}.
\mathrm{tr}(A)=5=\lambda_1+\lambda_2.
\det(A)=6=\lambda_1\lambda_2.

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