Use o enunciado a seguir para responder as perguntas 6 a 9 :
Uma cultura de bactérias contém inicialmente 200 células e cresce a uma taxa proporcional a seu tamanho. Depois de meia hora a população aumentou para 360 células.
Se a função
(t)
é exponencial, qual fórmula ira descrever
(t)
? (Pense no valor de
(t)
quando
t=0,5 h)
(a)
(t)=200 ⋅ 1,8^{2 t}
(b)
(t)=200^{t}
(c)
(t)=e^{200 t}
(d)
(t)=200^{t} ⋅ 360
Uma cultura de bactérias contém inicialmente 200 células e cresce a uma taxa proporcional a seu tamanho. Depois de meia hora a população aumentou para 360 células.
Se a função
(t)
é exponencial, qual fórmula ira descrever
(t)
? (Pense no valor de
(t)
quando
t=0,5 h)
(a)
(t)=200 ⋅ 1,8^{2 t}
(b)
(t)=200^{t}
(c)
(t)=e^{200 t}
(d)
(t)=200^{t} ⋅ 360
Passo 1
O enunciado diz o seguinte (listei tudo o que importa, sem resolver nada ainda):
- População inicial:
células. - Crescimento proporcional ao tamanho da população (isso significa que a taxa de crescimento é proporcional a
). - Depois de meia hora:
células. - Pergunta: supondo que
seja exponencial, qual fórmula descreve ? Foram dadas opções (a) a (d).
Passo 2
Modelo matemático e explicação didática do porquê:
- “Cresce a uma taxa proporcional ao tamanho” significa que a derivada da população em relação ao tempo é proporcional à própria população. Escrevemos isso como
onde
é a população no tempo
(em horas) e
é a constante de proporcionalidade (taxa de crescimento).
- A solução geral dessa equação diferencial é a função exponencial
onde
é o valor inicial
. Aqui
. Explicando as peças:
é a base dos logaritmos naturais,
controla a rapidez do crescimento e
é o tempo.
Passo 3
Usar a condição em
para determinar
:
- Substituindo
e a condição na solução,
- Dividindo ambos os lados por
,
- Para achar
usamos o logaritmo natural (que é a operação inversa de ):
- Portanto
Passo 4
Substituir
de volta na fórmula e simplificar usando propriedades de exponenciais e logaritmos:
- Temos
- Usando a propriedade
, obtemos
Passo 5
Checagem rápida (para garantir que a fórmula faz sentido):
- Em
: , ok. - Em
: então , ok — coincide com o enunciado.
Passo 6
Comparando com as opções dadas, a fórmula encontrada corresponde à opção (a).
Resposta
(a)