Use o enunciado a seguir para responder as perguntas 6 a 9 :
Uma cultura de bactérias contém inicialmente 200 células e cresce a uma taxa proporcional a seu tamanho. Depois de meia hora a população aumentou para 360 células.
Se a função
(t)
é exponencial, qual fórmula ira descrever
(t)
? (Pense no valor de
(t)
quando
t=0,5 h)
(a)
(t)=200 ⋅ 1,8^{2 t}
(b)
(t)=200^{t}
(c)
(t)=e^{200 t}
(d)
(t)=200^{t} ⋅ 360

Passo 1

O enunciado diz o seguinte (listei tudo o que importa, sem resolver nada ainda):
  • População inicial: P(0)=200 células.
  • Crescimento proporcional ao tamanho da população (isso significa que a taxa de crescimento é proporcional a P).
  • Depois de meia hora: P(0,5)=360 células.
  • Pergunta: supondo que P(t) seja exponencial, qual fórmula descreve P(t)? Foram dadas opções (a) a (d).

Passo 2

Modelo matemático e explicação didática do porquê:
  • “Cresce a uma taxa proporcional ao tamanho” significa que a derivada da população em relação ao tempo é proporcional à própria população. Escrevemos isso como
\frac{dP}{dt}=kP,
onde P(t) é a população no tempo t (em horas) e k é a constante de proporcionalidade (taxa de crescimento).
  • A solução geral dessa equação diferencial é a função exponencial
P(t)=P_0 e^{kt},
onde P_0 é o valor inicial P(0). Aqui P_0=200. Explicando as peças: e é a base dos logaritmos naturais, k controla a rapidez do crescimento e t é o tempo.

Passo 3

Usar a condição em t=0,5 para determinar k:
  • Substituindo P_0=200 e a condição P(0,5)=360 na solução,
200 e^{k\cdot 0,5}=360.
  • Dividindo ambos os lados por 200,
e^{0,5k}= \frac{360}{200}=1,8.
  • Para achar k usamos o logaritmo natural (que é a operação inversa de e^{\cdot}):
0,5k=\ln(1,8).
  • Portanto
k=2\ln(1,8).

Passo 4

Substituir k de volta na fórmula e simplificar usando propriedades de exponenciais e logaritmos:
  • Temos
P(t)=200\,e^{(2\ln(1,8))t}.
  • Usando a propriedade e^{\ln(a)\cdot b}=(e^{\ln a})^{b}=a^{b}, obtemos
P(t)=200\cdot 1,8^{2t}.

Passo 5

Checagem rápida (para garantir que a fórmula faz sentido):
  • Em t=0: P(0)=200\cdot 1,8^{0}=200, ok.
  • Em t=0,5: 2t=1 então P(0,5)=200\cdot 1,8^{1}=200\cdot 1,8=360, ok — coincide com o enunciado.

Passo 6

Comparando com as opções dadas, a fórmula encontrada corresponde à opção (a).

Resposta

(a) P(t)=200\cdot 1,8^{2t}

Exercícios relacionados