Qual a derivada de
?
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado dá a função cuja derivada pede:
.
As alternativas são:
(a)
(b)
(c)
(d)
As alternativas são:
(a)
(b)
(c)
(d)
O que se pede: calcular
e identificar qual alternativa corresponde à derivada.
Passo 2
Vamos usar a regra do produto. Se
e
são funções diferenciáveis, então vale
Aqui escolhemos
Isto significa que precisamos de
e
para aplicar a fórmula acima.
Passo 3
Derivando
usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia diz: se
, então
No nosso caso
, logo
. Portanto
Explicando devagar: primeiro mantenho a exponencial
igual, e multiplico pela derivada do expoente
, que é
.
Passo 4
Agora
. Duas maneiras simples de derivar:
Método A (propriedade do log):
. Então
Método B (cadeia diretamente): escreva
com
. Então
Ambos dão o mesmo resultado:
.
Passo 5
Agora aplicamos a regra do produto:
Substituindo
obtidos:
Passo 6
Podemos fatorar
se quisermos uma forma mais compacta:
Agora basta comparar com as alternativas do enunciado para ver qual corresponde.
Passo 7
Comparando com as alternativas, a que coincide com a expressão encontrada é a alternativa (c), que é
.
Resposta
(c)