Qual a derivada de e^{e^{x}} \ln \left(x^{4}\right) ?
(a) e^{e^{x}} \cdot \frac{4}{x}+e^{e^{x}} \ln \left(x^{4}\right)
(b) e^{e^{x}} \cdot e^{x} \cdot \frac{1}{x^{4}}+e^{e^{x}} \cdot \ln \left(x^{4}\right)
(c) e^{e^{x}} \cdot e^{x} \cdot \ln \left(x^{4}\right)+\frac{4}{x} \cdot e^{e^{x}}
(d) e^{e^{x}} \cdot x \cdot \frac{4}{x}+e^{e^{x}} \cdot \ln \left(x^{4}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função cuja derivada pede: \;f(x)=e^{e^{x}}\ln\left(x^{4}\right)\;.
As alternativas são:
(a) \;e^{e^{x}}\cdot\frac{4}{x}+e^{e^{x}}\ln\left(x^{4}\right)\;
(b) \;e^{e^{x}}\cdot e^{x}\cdot\frac{1}{x^{4}}+e^{e^{x}}\cdot\ln\left(x^{4}\right)\;
(c) \;e^{e^{x}}\cdot e^{x}\cdot\ln\left(x^{4}\right)+\frac{4}{x}\cdot e^{e^{x}}\;
(d) \;e^{e^{x}}\cdot x\cdot\frac{4}{x}+e^{e^{x}}\cdot\ln\left(x^{4}\right)\;
O que se pede: calcular \;f'(x)\; e identificar qual alternativa corresponde à derivada.

Passo 2

Vamos usar a regra do produto. Se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis, então vale
(uv)' = u'v + uv'.
Aqui escolhemos
u(x)=e^{e^{x}},\qquad v(x)=\ln\!\left(x^{4}\right).
Isto significa que precisamos de u'(x) e v'(x) para aplicar a fórmula acima.

Passo 3

Derivando u(x)=e^{e^{x}} usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia diz: se h(x)=\exp(g(x)), então
h'(x)=\exp(g(x))\cdot g'(x).
No nosso caso g(x)=e^{x}, logo g'(x)=e^{x}. Portanto
u'(x)=e^{e^{x}}\cdot e^{x}.
Explicando devagar: primeiro mantenho a exponencial e^{(\cdot)} igual, e multiplico pela derivada do expoente e^{x}, que é e^{x}.

Passo 4

Agora v(x)=\ln\!\left(x^{4}\right). Duas maneiras simples de derivar:
Método A (propriedade do log): \ln\!\left(x^{4}\right)=4\ln x. Então
v'(x)=4\cdot\frac{d}{dx}(\ln x)=4\cdot\frac{1}{x}=\frac{4}{x}.
Método B (cadeia diretamente): escreva v(x)=\ln(z) com z=x^{4}. Então
v'(x)=\frac{z'}{z}=\frac{4x^{3}}{x^{4}}=\frac{4}{x}.
Ambos dão o mesmo resultado: \;v'(x)=\dfrac{4}{x}.

Passo 5

Agora aplicamos a regra do produto:
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Substituindo u,u',v,v' obtidos:
f'(x)=\bigl(e^{e^{x}}\cdot e^{x}\bigr)\cdot\ln\!\left(x^{4}\right)+e^{e^{x}}\cdot\frac{4}{x}.

Passo 6

Podemos fatorar e^{e^{x}} se quisermos uma forma mais compacta:
f'(x)=e^{e^{x}}\!\left(e^{x}\ln\!\left(x^{4}\right)+\frac{4}{x}\right).
Agora basta comparar com as alternativas do enunciado para ver qual corresponde.

Passo 7

Comparando com as alternativas, a que coincide com a expressão encontrada é a alternativa (c), que é
\;e^{e^{x}}\cdot e^{x}\cdot\ln\left(x^{4}\right)+\frac{4}{x}\cdot e^{e^{x}}\;.

Resposta

(c) \;e^{e^{x}}\cdot e^{x}\cdot\ln\left(x^{4}\right)+\frac{4}{x}\cdot e^{e^{x}}

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