Use a Equação de análise da transformada de Fourier para calcular as transformadas de Fourier de:
Esboce e especifique a magnitude de cada transformada de Fourier.
Esboce e especifique a magnitude de cada transformada de Fourier.
Passo 1
Vamos resumir a questão. Precisamos calcular a transformada de Fourier da função $ e^{-3(t-2)} u(t-2) $. Isso está relacionado ao estudo da Transformada de Fourier na matéria de Análise de Sinais. Para resolver, vamos precisar usar propriedades das transformadas, especialmente aquelas que lidam com deslocamentos no tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a parte principal da função que queremos transformar: $ e^{-3(t-2)} u(t-2) $. Aqui, $ u(t-2) $ é a função degrau de Heaviside deslocada para $ t = 2 $. A função básica que vamos considerar é $ e^{-3t} u(t) $, cuja transformada de Fourier já conhecemos.
Passo 3
Relembrando a teoria, a Transformada de Fourier de $ e^{-a t} u(t) $ é dada por:
No nosso caso, $ a = 3 $, então a transformada de $ e^{-3t} u(t) $ é:
Passo 4
Agora, precisamos considerar o deslocamento no tempo da função original, que é $ t - 2 $. A propriedade de deslocamento no tempo da Transformada de Fourier nos diz que:
Aplicando isso à nossa função:
Passo 5
Por fim, vamos especificar a magnitude da transformada de Fourier encontrada. A magnitude de uma função no domínio da frequência é dada pelo módulo da expressão complexa:
Isso significa que a magnitude decresce conforme $ \omega $ aumenta, tendo seu valor máximo quando $ \omega = 0 $.
Resposta
A transformada de Fourier de $ e^{-3(t-2)} u(t-2) $ é:
A magnitude dessa transformada é:
O gráfico da magnitude apresenta um pico em $ \omega = 0 $ e decai simetricamente à medida que $ \omega $ se afasta de zero.