Use a equação de definição da Transformada de Fourier de tempo discreto para encontrar as Transformadas de Fourier diretas ou inversas dos sinais abaixo: (2.5pts)
b) X(j \omega)=e^{-2|\omega|}

Passo 1

O enunciado fornece a transformada no domínio da frequência
X(j\omega)=e^{-2|\omega|}
e pede para encontrar a transformada direta ou inversa correspondente usando a equação de definição da Transformada de Fourier (a partir daqui vamos usar a transformada inversa para recuperar o sinal no tempo x(t), já que X(j\omega) foi dada). Informações relevantes:
  • Foi dada a função X(j\omega) para todo \omega\in(-\infty,\infty): X(j\omega)=e^{-2|\omega|}.
  • O objetivo aqui é calcular o sinal no tempo x(t) tal que X(j\omega) seja sua Transformada de Fourier.
  • Não há outros dados numéricos; presume-se que a transformada inversa existe (a função dada é absolutamente integrável em \omega).

Passo 2

Lembrando a fórmula da transformada inversa contínua (definição que vamos usar): a relação entre x(t) e X(j\omega) é
x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} X(j\omega)\,e^{j\omega t}\,d\omega.
Explicando cada parte, devagar:
  • x(t) é o sinal no tempo que queremos achar.
  • X(j\omega) é a função de frequência dada ( e^{-2|\omega|} aqui).
  • e^{j\omega t} é o núcleo da transformada inversa, captura a contribuição de cada frequência \omega ao tempo t.
  • O fator \dfrac{1}{2\pi} depende da convenção de normalização da Transformada de Fourier (usada aqui é a mais comum em sinais e sistemas).

Passo 3

Substituindo X(j\omega)=e^{-2|\omega|} na fórmula da inversa, obtemos
x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2|\omega|} e^{j\omega t}\,d\omega.
Para avaliar essa integral, é conveniente separar a parte \omega<0 da \omega>0. Usando simetria absoluta:
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2|\omega|} e^{j\omega t}\,d\omega =\int_{-\infty}^{0} e^{-2(-\omega)} e^{j\omega t}\,d\omega+\int_{0}^{\infty} e^{-2\omega} e^{j\omega t}\,d\omega.
Fazendo a mudança de variável \omega=-u no primeiro integral (com u indo de 0 a \infty), o primeiro termo vira
\int_{0}^{\infty} e^{-2u} e^{-j u t}\,du.
Portanto a integral total é a soma de dois integrais sobre [0,\infty):
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2|\omega|} e^{j\omega t}\,d\omega =\int_{0}^{\infty} e^{-2\omega} e^{j\omega t}\,d\omega+\int_{0}^{\infty} e^{-2\omega} e^{-j\omega t}\,d\omega.

Passo 4

Cada um desses integrais é uma integral exponencial simples. Vamos calcular
I_+(t)=\int_{0}^{\infty} e^{-2\omega} e^{j\omega t}\,d\omega=\int_{0}^{\infty} e^{-(2-jt)\omega}\,d\omega.
Para \operatorname{Re}(2-jt)=2>0 a integral converge e a primitiva de e^{-c\omega} é -\frac{1}{c}e^{-c\omega}. Assim
I_+(t)=\left[-\frac{1}{2-jt}e^{-(2-jt)\omega}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{2-jt}.
Analogamente,
I_-(t)=\int_{0}^{\infty} e^{-2\omega} e^{-j\omega t}\,d\omega=\frac{1}{2+jt}.

Passo 5

Somando os dois resultados temos
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2|\omega|} e^{j\omega t}\,d\omega=I_+(t)+I_-(t)=\frac{1}{2-jt}+\frac{1}{2+jt}.
Vamos somar essas frações: colocar no mesmo denominador (2-jt)(2+jt)=4+t^2. O numerador fica (2+jt)+(2-jt)=4. Logo
\frac{1}{2-jt}+\frac{1}{2+jt}=\frac{4}{4+t^2}.

Passo 6

Voltando à expressão de x(t) com o fator \dfrac{1}{2\pi}, obtemos
x(t)=\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{4}{4+t^2}=\frac{2}{\pi(4+t^2)}.
Comentário didático e intuição: o sinal x(t) é real, par ( x(-t)=x(t)) e tem cauda que decai como 1/t^2 para t grande. Este é um caso padrão: em geral, para a>0,
\text{se }X(j\omega)=e^{-a|\omega|}\quad\text{então}\quad x(t)=\frac{a}{\pi(a^2+t^2)}.ã
Aqui a=2, o que redobra a verificação com o resultado acima.

Resposta

x(t)=\dfrac{2}{\pi(4+t^2)}

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