Use a equação de definição da Transformada de Fourier de tempo discreto para encontrar as Transformadas de Fourier diretas ou inversas dos sinais abaixo: (2.5pts)
b)
b)
Passo 1
O enunciado fornece a transformada no domínio da frequência
e pede para encontrar a transformada direta ou inversa correspondente usando a equação de definição da Transformada de Fourier (a partir daqui vamos usar a transformada inversa para recuperar o sinal no tempo
, já que
foi dada). Informações relevantes:
- Foi dada a função
para todo : . - O objetivo aqui é calcular o sinal no tempo
tal que seja sua Transformada de Fourier. - Não há outros dados numéricos; presume-se que a transformada inversa existe (a função dada é absolutamente integrável em
).
Passo 2
Lembrando a fórmula da transformada inversa contínua (definição que vamos usar): a relação entre
e
é
Explicando cada parte, devagar:
-
é o sinal no tempo que queremos achar. -
é a função de frequência dada ( aqui). -
é o núcleo da transformada inversa, captura a contribuição de cada frequência ao tempo . - O fator
depende da convenção de normalização da Transformada de Fourier (usada aqui é a mais comum em sinais e sistemas).
Passo 3
Substituindo
na fórmula da inversa, obtemos
Para avaliar essa integral, é conveniente separar a parte
da
. Usando simetria absoluta:
Fazendo a mudança de variável
no primeiro integral (com
indo de
a
), o primeiro termo vira
Portanto a integral total é a soma de dois integrais sobre
:
Passo 4
Cada um desses integrais é uma integral exponencial simples. Vamos calcular
Para
a integral converge e a primitiva de
é
. Assim
Analogamente,
Passo 5
Somando os dois resultados temos
Vamos somar essas frações: colocar no mesmo denominador
. O numerador fica
. Logo
Passo 6
Voltando à expressão de
com o fator
, obtemos
Comentário didático e intuição: o sinal
é real, par (
) e tem cauda que decai como
para
grande. Este é um caso padrão: em geral, para
,
Aqui
, o que redobra a verificação com o resultado acima.