Use a equação de definição da Transformada de Fourier de tempo discreto para encontrar as Transformadas de Fourier diretas ou inversas dos sinais abaixo: (2.5pts)
a) x[n]=\left(\frac{1}{3}\right)^{-n} u[-n-3]

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede. O sinal é
x[n]=\left(\frac{1}{3}\right)^{-n}u[-n-3].
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • A função degrau unitário u[k] vale 1 se k\ge 0 e 0 caso contrário.
  • Portanto u[-n-3]=1 quando -n-3\ge 0, isto é, quando n\le -3. Logo o sinal é não nulo apenas para n\le -3.
  • Para n\le -3 tem-se \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-n}=3^{n}. Ou seja, em sua região de suporte x[n]=3^{n}.
O pedido (implícito) é obter a Transformada de Fourier de tempo discreto (DTFT) direta X(e^{j\omega}) usando a definição.

Passo 2

Relembrando a definição da DTFT (aqui explico bem devagar): para um sinal discreto x[n], a sua DTFT é
X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\,e^{-j\omega n}.
O que isso significa:
  • n é o índice de tempo discreto (inteiro).
  • \omega é a frequência angular contínua (real).
  • A soma percorre todos os n onde x[n] pode ser não nulo; se x[n]=0 fora de uma região, não precisamos somar ali.
Vou usar essa definição diretamente, porque o enunciado pediu.

Passo 3

Como vimos no Passo 1, x[n]=3^{n} somente para n\le -3 e x[n]=0 para n>-3. Então a soma da DTFT reduz para
X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{-3} 3^{n}\,e^{-j\omega n}.
Agora combine as potências para escrever a soma como uma série geométrica. Note que
3^{n}e^{-j\omega n}=(3e^{-j\omega})^{n}.
Definindo r=3e^{-j\omega}, a soma fica
X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{-3} r^{n}.

Passo 4

Vou lembrar (e derivar rapidinho) a fórmula da soma de uma série geométrica semi-infinita do tipo \sum_{n=-\infty}^{N} r^{n}. Escrevendo n=N-k com k=0,1,2,\dots obtemos
\sum_{n=-\infty}^{N} r^{n}=r^{N}\sum_{k=0}^{\infty} r^{-k}=r^{N}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{r}\right)^{k}.
Essa soma converge se \left|\dfrac{1}{r}\right|<1, isto é |r|>1. Quando converge,
\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{r}\right)^{k}=\frac{1}{1-\dfrac{1}{r}}=\frac{r}{r-1}.
Portanto
\sum_{n=-\infty}^{N} r^{n}=\frac{r^{N+1}}{r-1},\qquad\text{válido se }|r|>1.á
No nosso caso N=-3 e r=3e^{-j\omega}. Observe que |r|=3>1, logo a série converge para todo \omega.

Passo 5

Aplicando a fórmula com N=-3 e r=3e^{-j\omega} temos
X(e^{j\omega})=\frac{r^{-2}}{r-1}.
Substituindo r de volta:
r^{-2}=(3e^{-j\omega})^{-2}=3^{-2}e^{j2\omega}=\frac{1}{9}e^{j2\omega},
r-1=3e^{-j\omega}-1.
Portanto
X(e^{j\omega})=\frac{\dfrac{1}{9}e^{j2\omega}}{3e^{-j\omega}-1}.

Passo 6

Podemos limpar a expressão multiplicando numerador e denominador por e^{j\omega} (isto é apenas multiplicar por 1) para obter uma forma mais habitual:
X(e^{j\omega})=\frac{\dfrac{1}{9}e^{j2\omega}\cdot e^{j\omega}}{(3e^{-j\omega}-1)\cdot e^{j\omega}} =\frac{\dfrac{1}{9}e^{j3\omega}}{3-e^{j\omega}}.
Finalmente, uma forma compacta é
X(e^{j\omega})=\frac{e^{j3\omega}}{9\,(3-e^{j\omega})}.
Também vale mencionar (resumo): a série converge para todo \omega porque |3e^{-j\omega}|=3>1, então não há problemas de divergência na DTFT.

Resposta

X(e^{j\omega})=\frac{e^{j3\omega}}{9\,(3-e^{j\omega})}

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