Use a equação de definição da Transformada de Fourier de tempo discreto para encontrar as Transformadas de Fourier diretas ou inversas dos sinais abaixo: (2.5pts)
a) x[n]=\left(\frac{1}{3}\right)^{-n} u[-n-3]
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede. O sinal é
x[n]=\left(\frac{1}{3}\right)^{-n}u[-n-3].
Informações importantes extraídas do enunciado:
A função degrau unitário u[k] vale 1 se k\ge 0 e 0 caso contrário.
Portanto u[-n-3]=1 quando -n-3\ge 0, isto é, quando n\le -3. Logo o sinal é não nulo apenas para n\le -3.
Para n\le -3 tem-se \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-n}=3^{n}. Ou seja, em sua região de suporte x[n]=3^{n}.
O pedido (implícito) é obter a Transformada de Fourier de tempo discreto (DTFT) direta X(e^{j\omega}) usando a definição.
Passo 2
Relembrando a definição da DTFT (aqui explico bem devagar): para um sinal discreto x[n], a sua DTFT é
Agora combine as potências para escrever a soma como uma série geométrica. Note que
3^{n}e^{-j\omega n}=(3e^{-j\omega})^{n}.
Definindo r=3e^{-j\omega}, a soma fica
X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{-3} r^{n}.
Passo 4
Vou lembrar (e derivar rapidinho) a fórmula da soma de uma série geométrica semi-infinita do tipo \sum_{n=-\infty}^{N} r^{n}. Escrevendo n=N-k com k=0,1,2,\dots obtemos