Use as tabelas de transformadas e propriedades para encontrar as Transformadas de Fourier diretas ou inversas dos seguintes sinais: (2.5pts)
b)
b)
Passo 1
O enunciado nos dá a função de frequência
e pede encontrar a transformada inversa (isto é, a sequência no tempo discreto
) usando tabelas e propriedades.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão dentro da derivada é
. - Há um operador
aplicado a essa expressão. - A expressão total é multiplicada por
.
Objetivo claro: calcular
tal que
.
Passo 2
Reescrever a fração usando a série geométrica (tabela básica):
Para vale
Para
Aqui
e
, logo a expansão converge. Aplicando isso:
Anotação importante: peguei a série geométrica desta expressão.
Passo 3
Aplicar a derivada em
termo a termo (justificável pela convergência uniforme da série):
Calcular . Então
Calcular
Multiplicando por
(como no enunciado):
Passo 4
Reconhecer a relação entre derivada em frequência e multiplicação por
no domínio do tempo:
Propriedade (tabela/teorema): se , então
Propriedade (tabela/teorema): se
Aqui identificamos que
é justamente a DTFT da sequência temporal
onde
é a função degrau unitário (controle do suporte
). Ou seja, antes da multiplicação por
a sequência associada é
.
Passo 5
Aplicar a propriedade de modulação em frequência (deslocamento no tempo):
Propriedade (tabela): se , então
Propriedade (tabela): se
Tomando
(isto é, multiplicação por
) obtemos deslocamento no tempo para frente (avanço) de 4 amostras:
Substituindo
na expressão
obtém-se a forma explícita da sequência no tempo (ver seção de resposta).