Use as tabelas de transformadas e propriedades para encontrar as Transformadas de Fourier diretas ou inversas dos seguintes sinais: (2.5pts)
b) X\left(e^{j \Omega}\right)=e^{j 4 \Omega} j \frac{d}{d \Omega}\left[\frac{2}{1-\frac{1}{4} e^{-j \Omega}}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a função de frequência
X\!\left(e^{j\Omega}\right)=e^{j4\Omega}\; j\,\frac{d}{d\Omega}\!\left[\frac{2}{1-\tfrac{1}{4}e^{-j\Omega}}\right]
e pede encontrar a transformada inversa (isto é, a sequência no tempo discreto x[n]) usando tabelas e propriedades.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão dentro da derivada é \dfrac{2}{1-\tfrac{1}{4}e^{-j\Omega}}.
  • Há um operador j\dfrac{d}{d\Omega} aplicado a essa expressão.
  • A expressão total é multiplicada por e^{j4\Omega}.
Objetivo claro: calcular x[n] tal que x[n] \xleftrightarrow{\mathcal{F}^{-1}} X\!\left(e^{j\Omega}\right).

Passo 2

Reescrever a fração usando a série geométrica (tabela básica):
Para |a|<1 vale
\frac{1}{1-a}=\sum_{k=0}^{\infty} a^{k}.
Aqui a=\tfrac{1}{4}e^{-j\Omega} e |a|=\tfrac{1}{4}<1, logo a expansão converge. Aplicando isso:
\frac{2}{1-\tfrac{1}{4}e^{-j\Omega}} =2\sum_{k=0}^{\infty}\left(\tfrac{1}{4}e^{-j\Omega}\right)^{k} =2\sum_{k=0}^{\infty}\left(\tfrac{1}{4}\right)^{k}e^{-j k\Omega}.
Anotação importante: peguei a série geométrica desta expressão.

Passo 3

Aplicar a derivada em \Omega termo a termo (justificável pela convergência uniforme da série):
Calcular \dfrac{d}{d\Omega} e^{-j k\Omega} = -j k e^{-j k\Omega}. Então
\frac{d}{d\Omega}\!\left[\frac{2}{1-\tfrac{1}{4}e^{-j\Omega}}\right] =2\sum_{k=0}^{\infty}\left(\tfrac{1}{4}\right)^{k}(-j k)e^{-j k\Omega}.
Multiplicando por j (como no enunciado):
j\frac{d}{d\Omega}\!\left[\frac{2}{1-\tfrac{1}{4}e^{-j\Omega}}\right] =2\sum_{k=0}^{\infty}\left(\tfrac{1}{4}\right)^{k}k\,e^{-j k\Omega}.

Passo 4

Reconhecer a relação entre derivada em frequência e multiplicação por n no domínio do tempo:
Propriedade (tabela/teorema): se x[n]\xleftrightarrow{\mathcal{F}}X\!\left(e^{j\Omega}\right), então
j\frac{d}{d\Omega}X\!\left(e^{j\Omega}\right) \xleftrightarrow{\mathcal{F}^{-1}} n\,x[n].
Aqui identificamos que
2\sum_{k=0}^{\infty}\left(\tfrac{1}{4}\right)^{k}k\,e^{-j k\Omega}
é justamente a DTFT da sequência temporal
x_0[n]=2\,n\left(\tfrac{1}{4}\right)^{n}u[n],
onde u[n] é a função degrau unitário (controle do suporte n\ge 0). Ou seja, antes da multiplicação por e^{j4\Omega} a sequência associada é x_0[n]=2n(1/4)^n u[n].

Passo 5

Aplicar a propriedade de modulação em frequência (deslocamento no tempo):
Propriedade (tabela): se x[n]\xleftrightarrow{\mathcal{F}}X\!\left(e^{j\Omega}\right), então
e^{-j\Omega n_0}X\!\left(e^{j\Omega}\right)\xleftrightarrow{\mathcal{F}^{-1}} x[n-n_0].
Tomando n_0=-4 (isto é, multiplicação por e^{j4\Omega}=e^{-j\Omega(-4)}) obtemos deslocamento no tempo para frente (avanço) de 4 amostras:
X\!\left(e^{j\Omega}\right)=e^{j4\Omega}\,X_0\!\left(e^{j\Omega}\right) \quad\Longrightarrow\quad x[n]=x_0[n+4].
Substituindo x_0[n] na expressão x[n]=x_0[n+4] obtém-se a forma explícita da sequência no tempo (ver seção de resposta).

Resposta

x[n]=2\,(n+4)\left(\tfrac{1}{4}\right)^{\,n+4}u[n+4]

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