Use as equações de Cauchy-Riemann para determinar o conjunto dos pontos onde as funções a seguir são deriváveis. Explicite a derivada f^{\prime}(z) neste conjunto. (Lembre que a derivada, quando existe, satisfaz que \left.f^{\prime}(z)=\frac{\partial u}{\partial x}(z)+i \frac{\partial v}{\partial x}(z)\right).
f(x+i y)=\left(e^{y}+e^{-y}\right) \operatorname{sen}(x)+\left(e^{y}+e^{-y}\right) \cos (x).

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{C}\to\mathbb{C} definida por
f(x+iy)=\bigl(e^{y}+e^{-y}\bigr)\operatorname{sen}(x)+\bigl(e^{y}+e^{-y}\bigr)\cos(x).
Pede-se determinar o conjunto de pontos onde f é complexamente diferenciável (ou seja, onde existe a derivada complexa) e explicitar a derivada f'(z) nesses pontos.
Informações relevantes que o enunciado fornece e que vamos usar: a expressão de f em termos de x e y; a relação pedida entre a derivada e as derivadas parciais, isto é f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}(z)+i\frac{\partial v}{\partial x}(z) quando f=u+iv.

Passo 2

Breve explicação das equações de Cauchy–Riemann (CR) e do critério que vamos usar (aula rápida e prática).
Se f=u(x,y)+i\,v(x,y) tem derivadas parciais contínuas num ponto (x,y), então f é complexamente diferenciável nesse ponto se, e somente se, as equações de Cauchy–Riemann forem satisfeitas ali:
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}.
Além disso, quando essas condições valem e as derivadas parciais são contínuas, a derivada complexa é dada por
f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}.
Vou aplicar exatamente isso: identificar u e v, calcular \partial u/\partial x,\\ \partial u/\partial y,\\ \partial v/\partial x,\\ \partial v/\partial y, impor as equações de CR e resolver as igualdades.

Passo 3

Identificar as partes real e imaginária. Observando a expressão de f vemos que não há termo multiplicado por i; portanto a parte real u e a parte imaginária v são
u(x,y)=\bigl(e^{y}+e^{-y}\bigr)\bigl(\operatorname{sen} x+\cos x\bigr), \qquad v(x,y)=0.
(Expliquei isso porque a soma das duas parcelas dadas é simplesmente (e^{y}+e^{-y})(\operatorname{sen} x+\cos x).)

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de u e v passo a passo (mostrando como derivar cada fator).
Derivadas em relação a x: como (e^{y}+e^{-y}) é tratado como constante ao derivar em x,
\frac{\partial u}{\partial x}(x,y)=\bigl(e^{y}+e^{-y}\bigr)\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sen} x+\cos x\bigr) =\bigl(e^{y}+e^{-y}\bigr)\bigl(\cos x-\operatorname{sen} x\bigr).
Derivadas em relação a y: agora (\operatorname{sen} x+\cos x) é constante ao derivar em y, e \frac{d}{dy}(e^{y}+e^{-y})=e^{y}-e^{-y}, então
\frac{\partial u}{\partial y}(x,y)=\bigl(e^{y}-e^{-y}\bigr)\bigl(\operatorname{sen} x+\cos x\bigr).
Para v\equiv 0 temos
\frac{\partial v}{\partial x}(x,y)=0,\qquad \frac{\partial v}{\partial y}(x,y)=0.

Passo 5

Aplicar as equações de Cauchy–Riemann. Substituindo nas igualdades CR obtemos o sistema:
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\quad\Longrightarrow\quad \bigl(e^{y}+e^{-y}\bigr)\bigl(\cos x-\operatorname{sen} x\bigr)=0,
\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\quad\Longrightarrow\quad \bigl(e^{y}-e^{-y}\bigr)\bigl(\operatorname{sen} x+\cos x\bigr)=0.

Passo 6

Resolver o sistema das igualdades. Observe propriedades das exponenciais para simplificar:
  1. Na primeira equação, o fator \bigl(e^{y}+e^{-y}\bigr) é sempre positivo para todo y (pois e^{y}+e^{-y}\ge 2>0), então ele não pode anular a expressão. Logo a primeira condição reduz-se a
\cos x-\operatorname{sen} x=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \cos x=\operatorname{sen} x \quad\Longleftrightarrow\quad \tan x=1.
As soluções são
x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
  1. Na segunda equação temos o produto \bigl(e^{y}-e^{-y}\bigr)\bigl(\operatorname{sen} x+\cos x\bigr)=0. Isso se anula se, e somente se, um dos fatores for zero:
  • Se \;e^{y}-e^{-y}=0\; então e^{2y}=1 e portanto y=0.
  • Ou se \;\operatorname{sen} x+\cos x=0\; então \tan x=-1 e
x=-\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Agora precisamos das x,y que satisfazem simultaneamente as duas condições. A primeira exige x=\frac{\pi}{4}+k\pi. Para esses valores de x verificamos \operatorname{sen} x+\cos x\neq 0 (por exemplo em x=\pi/4 temos \operatorname{sen} x+\cos x=\sqrt{2}\neq 0; mudando k muda o sinal, mas não zera). Portanto para satisfazer a segunda equação não podemos usar a solução \operatorname{sen} x+\cos x=0; a segunda equação só pode ser satisfeita com e^{y}-e^{-y}=0, ou seja y=0.
Conclusão do sistema: as condições CR são satisfeitas exatamente quando
x=\frac{\pi}{4}+k\pi\quad\text{e}\quad y=0,\qquad k\in\mathbb{Z}.

Passo 7

Verificar a suficiência: as derivadas parciais que calculamos são funções contínuas em todo \mathbb{R}^2, portanto as equações de Cauchy–Riemann são não só necessárias como suficientes. Logo f é complexamente diferenciável exatamente nos pontos encontrados no passo anterior.

Passo 8

Calcular a derivada f'(z) nesses pontos. Usando a fórmula
f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x},
e lembrando que \frac{\partial v}{\partial x}=0, obtemos
f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}=\bigl(e^{y}+e^{-y}\bigr)\bigl(\cos x-\operatorname{sen} x\bigr).
Mas nos pontos onde f é diferenciável temos \cos x-\operatorname{sen} x=0 (é justamente a condição do passo 6), portanto em todos esses pontos
f'(z)=0.

Resposta

f é diferenciável exatamente nos pontos z=x+iy com x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi e y=0 ( k\in\mathbb{Z}).
Nesses pontos vale f'(z)=0.

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