Use as equações de Cauchy-Riemann para determinar o conjunto dos pontos onde as funções a seguir são deriváveis. Explicite a derivada
neste conjunto. (Lembre que a derivada, quando existe, satisfaz que
.
.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
Pede-se determinar o conjunto de pontos onde
é complexamente diferenciável (ou seja, onde existe a derivada complexa) e explicitar a derivada
nesses pontos.
Informações relevantes que o enunciado fornece e que vamos usar: a expressão de em termos de
e
; a relação pedida entre a derivada e as derivadas parciais, isto é
quando
.
Informações relevantes que o enunciado fornece e que vamos usar: a expressão de
Passo 2
Breve explicação das equações de Cauchy–Riemann (CR) e do critério que vamos usar (aula rápida e prática).
Se tem derivadas parciais contínuas num ponto
, então
é complexamente diferenciável nesse ponto se, e somente se, as equações de Cauchy–Riemann forem satisfeitas ali:
Se
Além disso, quando essas condições valem e as derivadas parciais são contínuas, a derivada complexa é dada por
Vou aplicar exatamente isso: identificar
e
, calcular
, impor as equações de CR e resolver as igualdades.
Passo 3
Identificar as partes real e imaginária. Observando a expressão de
vemos que não há termo multiplicado por
; portanto a parte real
e a parte imaginária
são
(Expliquei isso porque a soma das duas parcelas dadas é simplesmente
.)
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de
e
passo a passo (mostrando como derivar cada fator).
Derivadas em relação a
: como
é tratado como constante ao derivar em
,
Derivadas em relação a
: agora
é constante ao derivar em
, e
, então
Para
temos
Passo 5
Aplicar as equações de Cauchy–Riemann. Substituindo nas igualdades CR obtemos o sistema:
Passo 6
Resolver o sistema das igualdades. Observe propriedades das exponenciais para simplificar:
- Na primeira equação, o fator
é sempre positivo para todo (pois ), então ele não pode anular a expressão. Logo a primeira condição reduz-se a
As soluções são
- Na segunda equação temos o produto
. Isso se anula se, e somente se, um dos fatores for zero:
- Se
então e portanto . - Ou se
então e
Agora precisamos das
que satisfazem simultaneamente as duas condições. A primeira exige
. Para esses valores de
verificamos
(por exemplo em
temos
; mudando
muda o sinal, mas não zera). Portanto para satisfazer a segunda equação não podemos usar a solução
; a segunda equação só pode ser satisfeita com
, ou seja
.
Conclusão do sistema: as condições CR são satisfeitas exatamente quando
Passo 7
Verificar a suficiência: as derivadas parciais que calculamos são funções contínuas em todo
, portanto as equações de Cauchy–Riemann são não só necessárias como suficientes. Logo
é complexamente diferenciável exatamente nos pontos encontrados no passo anterior.
Passo 8
Calcular a derivada
nesses pontos. Usando a fórmula
e lembrando que
, obtemos
Mas nos pontos onde
é diferenciável temos
(é justamente a condição do passo 6), portanto em todos esses pontos
Resposta
Nesses pontos vale