Determine os domínios (máximos) das funções tangente, cotangente, secante e cossecante em \mathbb{C}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar os domínios (máximos) das funções tangente, cotangente, secante e cossecante em \mathbb{C}.
Informações relevantes que temos do enunciado: as quatro funções são as versões complexas de \tan, \cot, \operatorname{sec} e \csc; por “domínio máximo” entendemos o maior subconjunto de \mathbb{C} em que cada função está definida como função complexa (holomorfa ou meromorfa, isto é, definida exceto talvez em polos). A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Vamos começar fixando fórmulas que servem como definição conveniente e que já são familiars em complexo: as funções seno e cosseno podem ser definidas pela exponencial complexa. Escrevo as fórmulas e explico cada símbolo:
\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i},\qquad \cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2},
onde z\in\mathbb{C} e e^{w} é a exponencial complexa. Essas fórmulas mostram que \sin z e \cos z são funções inteiras (holomorfas em todo \mathbb{C}), porque são combinações de e^{iz} e e^{-iz}, que são inteiras. Vou usar essas expressões para achar onde \sin e \cos se anulam, informação crucial para os domínios das quatro funções pedidas.

Passo 3

Encontrar zeros de \sin z. Partimos de
\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}=0 \iff e^{iz}-e^{-iz}=0 \iff e^{2iz}=1.
Resolver e^{2iz}=1 significa 2iz=2\pi i k para algum k\in\mathbb{Z}, porque as soluções de e^{w}=1 são w=2\pi i k. Assim
2iz=2\pi i k \implies z=\pi k,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Portanto os zeros de \sin z são exatamente os pontos \{k\pi: k\in\mathbb{Z}\}. Para saber a multiplicidade: a derivada é \sin' z=\cos z e em z=k\pi temos \cos(k\pi)=(-1)^k\neq 0, logo cada zero é simples (multiplicidade 1).

Passo 4

Encontrar zeros de \cos z. Partimos de
\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}=0 \iff e^{2iz}=-1.
Solucionando e^{2iz}=-1=e^{i\pi(2m+1)} com m\in\mathbb{Z}, obtemos 2iz=i\pi(2m+1), daí
z=\frac{\pi}{2}+m\pi,\qquad m\in\mathbb{Z}.
Portanto os zeros de \cos z são exatamente os pontos \{\tfrac{\pi}{2}+m\pi: m\in\mathbb{Z}\}. Para a multiplicidade: \cos' z=-\sin z e em z=\tfrac{\pi}{2}+m\pi temos \sin(\tfrac{\pi}{2}+m\pi)=(-1)^m\neq 0, logo cada zero também é simples.

Passo 5

Definição e domínio da tangente \tan z. Pela definição clássica,
\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}.
Como \sin e \cos são inteiras, o quociente é definido e holomorfo sempre que o denominador \cos z for diferente de zero. Pelos resultados anteriores, \cos z=0 exatamente em \{\tfrac{\pi}{2}+k\pi: k\in\mathbb{Z}\}. Além disso, nesses pontos \sin não se anula (pois \sin(\tfrac{\pi}{2}+k\pi)=(-1)^k\neq0), então cada ponto é um polo simples da função \tan. Portanto o domínio máximo de \tan é \mathbb{C} retirando esses pontos.

Passo 6

Definição e domínio da cotangente \cot z. Pela definição clássica,
\cot z=\frac{\cos z}{\sin z}.
O quociente é definido sempre que \sin z\neq 0. Pelos Passos 3 e 4, \sin z=0 exatamente em \{k\pi: k\in\mathbb{Z}\}. Em cada um desses pontos \cos(k\pi)=(-1)^k\neq0, logo são polos simples da \cot. Assim o domínio máximo de \cot é \mathbb{C} com os pontos \{k\pi\} removidos.

Passo 7

Definição e domínio da secante \operatorname{sec} z e da cossecante \csc z. Por definição:
\operatorname{sec} z=\frac{1}{\cos z},\qquad \csc z=\frac{1}{\sin z}.
Como já sabemos onde \cos e \sin se anulam (Passos 3 e 4) e esses zeros são simples, os polos de \operatorname{sec} são exatamente \{\tfrac{\pi}{2}+k\pi: k\in\mathbb{Z}\} e os polos de \csc são exatamente \{k\pi: k\in\mathbb{Z}\}. Portanto os domínios máximos são \mathbb{C} com esses pontos removidos.

Passo 8

Resumo conceitual (para fixar): todas as quatro funções são meromorfas em \mathbb{C} — isso quer dizer que são holomorfas em \mathbb{C} exceto por um conjunto discreto de polos que identificamos explicitamente. Usei as fórmulas exponenciais para localizar zeros de \sin e \cos, verifiquei que esses zeros são simples (avaliando as derivadas), e então deduzi os pontos onde quocientes ou recíprocos ficam indefinidos (polos), o que determina os domínios máximos.

Resposta

\displaystyle \mathrm{dom}(\tan)=\mathbb{C}\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi:\,k\in\mathbb{Z}\right\}
\displaystyle \mathrm{dom}(\cot)=\mathbb{C}\setminus\left\{k\pi:\,k\in\mathbb{Z}\right\}
\displaystyle \mathrm{dom}(\operatorname{sec})=\mathbb{C}\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi:\,k\in\mathbb{Z}\right\}
\displaystyle \mathrm{dom}(\csc)=\mathbb{C}\setminus\left\{k\pi:\,k\in\mathbb{Z}\right\}

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