Determine os domínios (máximos) das funções tangente, cotangente, secante e cossecante em
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar os domínios (máximos) das funções tangente, cotangente, secante e cossecante em
.
Informações relevantes que temos do enunciado: as quatro funções são as versões complexas de ,
,
e
; por “domínio máximo” entendemos o maior subconjunto de
em que cada função está definida como função complexa (holomorfa ou meromorfa, isto é, definida exceto talvez em polos). A resolução começa no próximo passo.
Informações relevantes que temos do enunciado: as quatro funções são as versões complexas de
Passo 2
Vamos começar fixando fórmulas que servem como definição conveniente e que já são familiars em complexo: as funções seno e cosseno podem ser definidas pela exponencial complexa. Escrevo as fórmulas e explico cada símbolo:
onde
e
é a exponencial complexa. Essas fórmulas mostram que
e
são funções inteiras (holomorfas em todo
), porque são combinações de
e
, que são inteiras. Vou usar essas expressões para achar onde
e
se anulam, informação crucial para os domínios das quatro funções pedidas.
Passo 3
Encontrar zeros de
. Partimos de
Resolver
significa
para algum
, porque as soluções de
são
. Assim
Portanto os zeros de
são exatamente os pontos
. Para saber a multiplicidade: a derivada é
e em
temos
, logo cada zero é simples (multiplicidade 1).
Passo 4
Encontrar zeros de
. Partimos de
Solucionando
com
, obtemos
, daí
Portanto os zeros de
são exatamente os pontos
. Para a multiplicidade:
e em
temos
, logo cada zero também é simples.
Passo 5
Definição e domínio da tangente
. Pela definição clássica,
Como
e
são inteiras, o quociente é definido e holomorfo sempre que o denominador
for diferente de zero. Pelos resultados anteriores,
exatamente em
. Além disso, nesses pontos
não se anula (pois
), então cada ponto é um polo simples da função
. Portanto o domínio máximo de
é
retirando esses pontos.
Passo 6
Definição e domínio da cotangente
. Pela definição clássica,
O quociente é definido sempre que
. Pelos Passos 3 e 4,
exatamente em
. Em cada um desses pontos
, logo são polos simples da
. Assim o domínio máximo de
é
com os pontos
removidos.
Passo 7
Definição e domínio da secante
e da cossecante
. Por definição:
Como já sabemos onde
e
se anulam (Passos 3 e 4) e esses zeros são simples, os polos de
são exatamente
e os polos de
são exatamente
. Portanto os domínios máximos são
com esses pontos removidos.
Passo 8
Resumo conceitual (para fixar): todas as quatro funções são meromorfas em
— isso quer dizer que são holomorfas em
exceto por um conjunto discreto de polos que identificamos explicitamente. Usei as fórmulas exponenciais para localizar zeros de
e
, verifiquei que esses zeros são simples (avaliando as derivadas), e então deduzi os pontos onde quocientes ou recíprocos ficam indefinidos (polos), o que determina os domínios máximos.