Use as equações de Cauchy-Riemann para provar que as seguintes funções são deriváveis e determine f^{\prime}(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial x} i=\frac{\partial v}{\partial y}-\frac{\partial u}{\partial y} i :
f(z)=e^{-z}

Passo 1

O enunciado dá a função \,f(z)=e^{-z}\, e pede duas coisas: provar que ela é diferenciável usando as equações de Cauchy–Riemann e determinar a derivada \,f'(z)\,) — mostrando a forma \(\,f'(z)=\dfrac{\partial u}{\partial x}+i\dfrac{\partial v}{\partial x}=\dfrac{\partial v}{\partial y}-i\dfrac{\partial u}{\partial y}.
Informações dadas:
  • A função complexa é \,f(z)=e^{-z}\,.
  • Quer-se usar as equações de Cauchy–Riemann para provar diferenciabilidade e então obter f'(z).)

Passo 2

Primeiro escrevemos f em partes real e imaginária: escrevendo z=x+iy com x,y\in\mathbb{R},
f(z)=e^{-z}=e^{-(x+iy)}=e^{-x}e^{-iy}.
Recordando que e^{-iy}=\cos(-y)+i\sin(-y)=\cos y - i\sin y, temos
f(z)=e^{-x}(\cos y - i\sin y).
Portanto, se escrevemos f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y), obtemos
u(x,y)=e^{-x}\cos y, \qquad v(x,y)=-e^{-x}\sin y.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de u e v. Lembrete rápido: derivada parcial em relação a x trata y como constante; derivada parcial em relação a y trata x como constante. Também uso que \dfrac{d}{dx}e^{-x}=-e^{-x}, \dfrac{d}{dy}\cos y=-\sin y e \dfrac{d}{dy}\sin y=\cos y.
Cálculo de u_x e u_y:
u(x,y)=e^{-x}\cos y
u_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{-x}\cos y\bigr)=(-e^{-x})\cos y=-e^{-x}\cos y,
u_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{-x}\cos y\bigr)=e^{-x}(-\sin y)=-e^{-x}\sin y.
Cálculo de v_x e v_y:
v(x,y)=-e^{-x}\sin y
v_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-e^{-x}\sin y\bigr)= -(-e^{-x})\sin y= e^{-x}\sin y,
v_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(-e^{-x}\sin y\bigr)=-e^{-x}\cos y.
Resumo das parciais:
u_x=-e^{-x}\cos y,\quad u_y=-e^{-x}\sin y,\quad v_x=e^{-x}\sin y,\quad v_y=-e^{-x}\cos y.

Passo 4

As equações de Cauchy–Riemann dizem que, para f=u+iv ser diferenciável (holomorfa) num ponto, é suficiente (num contexto clássico) que as derivadas parciais u_x,u_y,v_x,v_y existam, sejam contínuas numa vizinhança do ponto e satisfaçam
u_x=v_y \qquad\text{e}\qquad u_y=-v_x.
Aqui observamos que as derivadas parciais que calculámos são combinações de funções exponenciais e trigonométricas, que são contínuas em todo \mathbb{R}^2. Assim a condição de continuidade está satisfeita.
Substituindo nossos valores:
u_x=-e^{-x}\cos y,\qquad v_y=-e^{-x}\cos y,
logo u_x=v_y.
E
u_y=-e^{-x}\sin y,\qquad v_x=e^{-x}\sin y,
logo u_y=-v_x (pois -v_x=-e^{-x}\sin y).
Portanto as equações de Cauchy–Riemann são satisfeitas em todo \mathbb{R}^2 e as parciais são contínuas, o que implica que f é diferenciável (na verdade holomorfa) em todo \mathbb{C}.

Passo 5

Agora calculamos a derivada usando as fórmulas pedidas. Primeiro pela fórmula \,f'(z)=u_x+i v_x:
f'(z)=u_x+i v_x = -e^{-x}\cos y + i\bigl(e^{-x}\sin y\bigr).
Colocando fator comum e^{-x}:
f'(z)=e^{-x}\bigl(-\cos y + i\sin y\bigr).
Reescrevendo -\cos y + i\sin y = -(\cos y - i\sin y) = -e^{-iy}, vem
f'(z)=e^{-x}\bigl(-e^{-iy}\bigr) = -e^{-x-iy} = -e^{-z}.
Verificação alternativa pela fórmula \,f'(z)=v_y - i u_y:
v_y - i u_y = \bigl(-e^{-x}\cos y\bigr) - i\bigl(-e^{-x}\sin y\bigr) = -e^{-x}\cos y + i e^{-x}\sin y,
que é a mesma expressão que obtivemos e então também simplifica para -e^{-z}. Assim as duas formas coincidem, como esperado.

Passo 6

Conclusão clara e encorajadora: a função \,f(z)=e^{-z}\, tem derivadas parciais contínuas que satisfazem as equações de Cauchy–Riemann em todo \mathbb{C}; portanto f é diferenciável em todo \mathbb{C}. A derivada é -e^{-z}. Boa! Você acabou de ver o processo passo a passo: escrever f como u+iv, calcular parciais, checar C–R e usar as fórmulas para obter f'(z).

Resposta

\;f'(z)=-e^{-z}

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