Use as equações de Cauchy-Riemann para provar que as seguintes funções são deriváveis e determine
:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas: provar que ela é diferenciável usando as equações de Cauchy–Riemann e determinar a derivada
.
Informações dadas:
- A função complexa é
. - Quer-se usar as equações de Cauchy–Riemann para provar diferenciabilidade e então obter
.)
Passo 2
Primeiro escrevemos
em partes real e imaginária: escrevendo
com
,
Recordando que
, temos
Portanto, se escrevemos
, obtemos
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
e
. Lembrete rápido: derivada parcial em relação a
trata
como constante; derivada parcial em relação a
trata
como constante. Também uso que
,
e
.
Cálculo de
e
:
Cálculo de
e
:
Resumo das parciais:
Passo 4
As equações de Cauchy–Riemann dizem que, para
ser diferenciável (holomorfa) num ponto, é suficiente (num contexto clássico) que as derivadas parciais
existam, sejam contínuas numa vizinhança do ponto e satisfaçam
Aqui observamos que as derivadas parciais que calculámos são combinações de funções exponenciais e trigonométricas, que são contínuas em todo
. Assim a condição de continuidade está satisfeita.
Substituindo nossos valores:
logo
.
E
logo
(pois
).
Portanto as equações de Cauchy–Riemann são satisfeitas em todo
e as parciais são contínuas, o que implica que
é diferenciável (na verdade holomorfa) em todo
.
Passo 5
Agora calculamos a derivada usando as fórmulas pedidas. Primeiro pela fórmula
:
Colocando fator comum
:
Reescrevendo
, vem
Verificação alternativa pela fórmula
:
que é a mesma expressão que obtivemos e então também simplifica para
. Assim as duas formas coincidem, como esperado.
Passo 6
Conclusão clara e encorajadora: a função
tem derivadas parciais contínuas que satisfazem as equações de Cauchy–Riemann em todo
; portanto
é diferenciável em todo
. A derivada é
. Boa! Você acabou de ver o processo passo a passo: escrever
como
, calcular parciais, checar C–R e usar as fórmulas para obter
.