Use as regras de derivação para determinar a derivada das seguintes funções:
f(z)=\left(2-3 z^{2}\right)^{5}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função em relação a z:
f(z)=\left(2-3 z^{2}\right)^{5}.
Informações dadas:
  • A função é uma potência de uma expressão em z.
  • Queremos f'(z), a derivada de f em relação a z.

Passo 2

Estratégia que vamos usar: a Regra da Cadeia. Vou explicar ela direitinho antes de aplicar: quando uma função é composta, isto é, f(z)=h(g(z)), a derivada é dada por
f'(z)=h'\big(g(z)\big)\cdot g'(z).
Aqui:
  • g(z) é a função interna (a “substituição” dentro da potência);
  • h(u) é a função externa em termos de uma variável intermediária u;
  • h'(u) é a derivada de h em relação a u;
  • g'(z) é a derivada de g em relação a z.
    A ideia é derivar a parte de fora (mantendo a parte de dentro) e multiplicar pela derivada da parte de dentro.

Passo 3

Identificar parte interna e externa na função dada:
  • Parte interna: g(z)=2-3 z^{2}.
  • Parte externa: h(u)=u^{5}, onde u=g(z).
    Portanto f(z)=h(g(z)).

Passo 4

Derivar a parte externa usando a Regra da Potência. A Regra da Potência diz que, para uma variável u e um expoente constante n,
\frac{d}{du}\big(u^{n}\big)=n\,u^{n-1}.
Aplicando com n=5 obtemos
h'(u)=5\,u^{4}.
(Exemplo rápido para fixar: derivada de x^{3} é 3x^{2}.)

Passo 5

Derivar a parte interna g(z)=2-3 z^{2}. Usamos propriedades básicas:
  • Derivada de uma constante é zero.
  • Derivada de z^{2} é 2z.
    Logo
g'(z)=\frac{d}{dz}\big(2-3 z^{2}\big)=0-3\cdot(2z)=-6z.

Passo 6

Aplicar a Regra da Cadeia: f'(z)=h'\big(g(z)\big)\cdot g'(z). Substituindo h' e g e g',
f'(z)=5\big(g(z)\big)^{4}\cdot(-6z).
Agora substitui g(z)=2-3 z^{2}:
f'(z)=5\big(2-3 z^{2}\big)^{4}\cdot(-6z).
Multiplicando o coeficiente 5 por -6z -30z. Portanto
f'(z)=-30z\big(2-3 z^{2}\big)^{4}.

Resposta

f'(z)=-30z\big(2-3 z^{2}\big)^{4}

Exercícios relacionados