Use as regras de derivação para determinar a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função em relação a
:
Informações dadas:
- A função é uma potência de uma expressão em
. - Queremos
, a derivada de em relação a .
Passo 2
Estratégia que vamos usar: a Regra da Cadeia. Vou explicar ela direitinho antes de aplicar: quando uma função é composta, isto é,
, a derivada é dada por
Aqui:
-
é a função interna (a “substituição” dentro da potência); -
é a função externa em termos de uma variável intermediária ; -
é a derivada de em relação a ; -
é a derivada de em relação a .
A ideia é derivar a parte de fora (mantendo a parte de dentro) e multiplicar pela derivada da parte de dentro.
Passo 3
Identificar parte interna e externa na função dada:
- Parte interna:
. - Parte externa:
, onde .
Portanto.
Passo 4
Derivar a parte externa usando a Regra da Potência. A Regra da Potência diz que, para uma variável
e um expoente constante
,
Aplicando com
obtemos
(Exemplo rápido para fixar: derivada de
é
.)
Passo 5
Derivar a parte interna
. Usamos propriedades básicas:
- Derivada de uma constante é zero.
- Derivada de
é .
Logo
Passo 6
Aplicar a Regra da Cadeia:
. Substituindo
e
e
,
Agora substitui
:
Multiplicando o coeficiente
por
dá
. Portanto