Use as regras de derivação para determinar a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para determinar a derivada da função racional
Informações dadas e o que é pedido:
- A função é dada por
. - O domínio natural da função exclui
porque aí o denominador é zero. - O que se pede: encontrar a função derivada
válida para .
Passo 2
Qual regra vamos usar e por quê.
- Para derivar uma razão de duas funções (uma função sobre outra) usamos a regra do quociente. A regra do quociente é prática e direta aqui porque o numerador e o denominador são funções simples (linéares).
- A regra do quociente diz: para duas funções
e com ,
Explicando cada termo:
-
é o numerador da razão. -
é o denominador da razão. -
é a derivada de em relação a . -
é a derivada de em relação a .
A fórmula forma um novo numeradore coloca o quadrado do denominador original no denominador da derivada.
Passo 3
Identificar
,
e calcular
e
.
- Tomamos
- Derivando funções lineares: a derivada de
é . Logo,
Aqui expliquei: a derivada de
é
e a derivada de uma constante (como
ou
) é
.
Passo 4
Aplicar a regra do quociente substituindo
,
,
e
.
Usando a fórmula da regra do quociente:
Usando a fórmula da regra do quociente:
Substituindo os valores obtidos:
Passo 5
Simplificar o numerador passo a passo.
- Primeiro multiplica-se os termos:
- Subtrai-se os dois resultados no numerador:
- Os termos
e cancelam, sobrando
Portanto o numerador simplificado é
. Assim obtemos
Passo 6
Observações finais e domínio da derivada.
- A derivada encontrada é válida para todos
tais que o denominador original não é zero, ou seja, para . - Pequeno cheque mental: fazia sentido a derivada ser positiva? Sim, porque o numerador final é positivo constante
e o denominador é um quadrado positivo, então para todo , o que é coerente com comportamento de uma transformação racional com denominador linear ao quadrado.