Use as regras de derivação para determinar a derivada das seguintes funções:
g(z)=\frac{z-5}{3 z+2}, z \neq-\frac{2}{3}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada da função racional
g(z)=\frac{z-5}{3 z+2},\qquad z\neq -\frac{2}{3}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A função é dada por \,g(z)=\dfrac{z-5}{3z+2}\,.
  • O domínio natural da função exclui z=-\dfrac{2}{3} porque aí o denominador é zero.
  • O que se pede: encontrar a função derivada g'(z) válida para z\neq -\dfrac{2}{3}.

Passo 2

Qual regra vamos usar e por quê.
  • Para derivar uma razão de duas funções (uma função sobre outra) usamos a regra do quociente. A regra do quociente é prática e direta aqui porque o numerador e o denominador são funções simples (linéares).
  • A regra do quociente diz: para duas funções u(z) e v(z) com v(z)\neq0,
\frac{d}{dz}\left(\frac{u(z)}{v(z)}\right)=\frac{u'(z)\,v(z)-u(z)\,v'(z)}{\bigl(v(z)\bigr)^2}.
Explicando cada termo:
  • u(z) é o numerador da razão.
  • v(z) é o denominador da razão.
  • u'(z) é a derivada de u em relação a z.
  • v'(z) é a derivada de v em relação a z.
    A fórmula forma um novo numerador u'v-uv' e coloca o quadrado do denominador original no denominador da derivada.

Passo 3

Identificar u, v e calcular u' e v'.
  • Tomamos
u(z)=z-5, \qquad v(z)=3z+2.
  • Derivando funções lineares: a derivada de az+b é a. Logo,
u'(z)=\frac{d}{dz}(z-5)=1, \qquad v'(z)=\frac{d}{dz}(3z+2)=3.
Aqui expliquei: a derivada de z é 1 e a derivada de uma constante (como -5 ou 2) é 0.

Passo 4

Aplicar a regra do quociente substituindo u, v, u' e v'.
Usando a fórmula da regra do quociente:
g'(z)=\frac{u'(z)\,v(z)-u(z)\,v'(z)}{\bigl(v(z)\bigr)^2}.
Substituindo os valores obtidos:
g'(z)=\frac{(1)\,(3z+2)-(z-5)\,(3)}{(3z+2)^2}.

Passo 5

Simplificar o numerador passo a passo.
  • Primeiro multiplica-se os termos:
(1)(3z+2)=3z+2, \qquad (z-5)(3)=3z-15.
  • Subtrai-se os dois resultados no numerador:
3z+2-(3z-15)=3z+2-3z+15.
  • Os termos 3z e -3z cancelam, sobrando
2+15=17.
Portanto o numerador simplificado é 17. Assim obtemos
g'(z)=\frac{17}{(3z+2)^2}.

Passo 6

Observações finais e domínio da derivada.
  • A derivada encontrada é válida para todos z tais que o denominador original não é zero, ou seja, para z\neq -\dfrac{2}{3}.
  • Pequeno cheque mental: fazia sentido a derivada ser positiva? Sim, porque o numerador final é positivo constante 17 e o denominador é um quadrado positivo, então g'(z)>0 para todo z\neq -\dfrac{2}{3}, o que é coerente com comportamento de uma transformação racional com denominador linear ao quadrado.

Resposta

g'(z)=\frac{17}{(3z+2)^2},\qquad z\neq -\frac{2}{3}.

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