Use as equações de Cauchy-Riemann para provar que as seguintes funções são deriváveis e determine
:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a função
dada:
- Usar as equações de Cauchy–Riemann para provar que
é derivável. - Determinar
, lembrando que se então
A informação dada é apenas a definição da função:
Passo 2
Primeiro escrevo
em termos das coordenadas reais:
com
. Vou expandir
para separar parte real
e parte imaginária
.
Faço em dois passos:
Agora quadrado esse resultado:
Seja
e
. Então
. Substituindo:
Passo 3
Agora simplifico os termos reais e imaginários:
Passo 4
Vou calcular as derivadas parciais necessárias (são todas derivadas de polinômios, então regras usuais valem e são contínuas):
Passo 5
Escrevo as equações de Cauchy–Riemann e verifico-as:
Substituindo as derivadas calculadas:
Portanto as duas equações de Cauchy–Riemann valem para todos
.
Além disso, as derivadas parciais são polinômios (logo contínuas) em todo
. Pelo critério que usamos (equações de Cauchy–Riemann + derivadas parciais contínuas) isso garante que
é derivável em todo
(ou seja, holomorfa/analítica em todo o plano).
Passo 6
Agora calculo
usando a fórmula
. Substituo as derivadas:
Passo 7
Reconheço o fator dentro do parêntese como
. De fato
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