Use as equações de Cauchy-Riemann para provar que as seguintes funções são deriváveis e determine f^{\prime}(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial x} i=\frac{\partial v}{\partial y}-\frac{\partial u}{\partial y} i :
f(z)=z^{4}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função f dada:
  • Usar as equações de Cauchy–Riemann para provar que f é derivável.
  • Determinar f'(z), lembrando que se f=u+iv então
f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}.
A informação dada é apenas a definição da função:
f(z)=z^{4}.

Passo 2

Primeiro escrevo z em termos das coordenadas reais: z=x+iy com x,y\in\mathbb{R}. Vou expandir z^{4}=(x+iy)^{4} para separar parte real u(x,y) e parte imaginária v(x,y).
Faço em dois passos:
(x+iy)^{2}=x^{2}-y^{2}+2i\,xy.
Agora quadrado esse resultado:
(x+iy)^{4}=\big(x^{2}-y^{2}+2i\,xy\big)^{2}.
Seja A=x^{2}-y^{2} e B=2xy. Então (A+iB)^{2}=A^{2}-B^{2}+2iAB. Substituindo:
(x+iy)^{4}=(x^{2}-y^{2})^{2}-(2xy)^{2}+2i(x^{2}-y^{2})(2xy).

Passo 3

Agora simplifico os termos reais e imaginários:
\begin{aligned} u(x,y)&=(x^{2}-y^{2})^{2}-(2xy)^{2} \\\ &=x^{4}-2x^{2}y^{2}+y^{4}-4x^{2}y^{2} \\\ &=x^{4}-6x^{2}y^{2}+y^{4}, \\[4pt] v(x,y)&=2(x^{2}-y^{2})(2xy) \\\ &=4xy(x^{2}-y^{2}) \\\ &=4x^{3}y-4xy^{3}. \end{aligned}]

Passo 4

Vou calcular as derivadas parciais necessárias (são todas derivadas de polinômios, então regras usuais valem e são contínuas):
\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial x}(x,y)&=4x^{3}-12xy^{2},\\[4pt] \frac{\partial u}{\partial y}(x,y)&=-12x^{2}y+4y^{3},\\[4pt] \frac{\partial v}{\partial x}(x,y)&=12x^{2}y-4y^{3},\\[4pt] \frac{\partial v}{\partial y}(x,y)&=4x^{3}-12xy^{2}. \end{aligned}]

Passo 5

Escrevo as equações de Cauchy–Riemann e verifico-as:
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} \quad\text{e}\quad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}.
Substituindo as derivadas calculadas:
4x^{3}-12xy^{2}=4x^{3}-12xy^{2}\quad\text{(primeira equação satisfeita)},çã
-12x^{2}y+4y^{3}=-(12x^{2}y-4y^{3})\quad\text{(segunda equação satisfeita)}.çã
Portanto as duas equações de Cauchy–Riemann valem para todos x,y.
Além disso, as derivadas parciais são polinômios (logo contínuas) em todo \mathbb{R}^{2}. Pelo critério que usamos (equações de Cauchy–Riemann + derivadas parciais contínuas) isso garante que f é derivável em todo z (ou seja, holomorfa/analítica em todo o plano).

Passo 6

Agora calculo f'(z) usando a fórmula f'(z)=\dfrac{\partial u}{\partial x}+i\dfrac{\partial v}{\partial x}. Substituo as derivadas:
\begin{aligned} f'(z)&=(4x^{3}-12xy^{2})+i(12x^{2}y-4y^{3})\\[4pt] &=4\big(x^{3}-3xy^{2}+i(3x^{2}y-y^{3})\big). \end{aligned}]

Passo 7

Reconheço o fator dentro do parêntese como (x+iy)^{3}. De fato
(x+iy)^{3}=x^{3}-3x y^{2}+i(3x^{2}y-y^{3}).
Logo
f'(z)=4\,(x+iy)^{3}=4z^{3}.

Resposta

f'(z)=4z^{3}

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