Mostre que se
é um número real puro, então
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é um número real (ou seja, não tem parte imaginária), então alguma forma específica para
ocorre. As informações que temos são:
-
é um número complexo qualquer (logo podemos escrevê‑lo como com ); - sabe‑se apenas que
é real (não há outras hipóteses adicionais no enunciado).
O que se pede explicitamente é uma relação entre
e múltiplos de
(o enunciado afirma que
com
). Vou analisar cuidadosamente essa afirmação e deduzir a condição correta para
.
Passo 2
Escrever
em partes real e imaginária: seja
com
. Isto é só reescrever
de forma que possamos usar fórmulas conhecidas para exponencial de número complexo.
Explicação da fórmula que vamos usar (fórmula de Euler + propriedades da exponencial):
Pelo teorema de Euler,
Portanto, combinando,
Aqui
é um número real positivo (pois
), e
são os habituais cosseno e seno reais.
Passo 3
Impor que
seja real significa que a parte imaginária de
é zero. A parte imaginária de
é
. Assim devemos ter
Como
para todo
, a única forma de esse produto ser zero é
Passo 4
Resolver
. Sabemos que as raízes do seno (os
reais para os quais
) são exatamente os múltiplos inteiros de
. Logo
Isto vem da periodicidade do seno e do fato de
e
, e que não existem outros zeros fora desses múltiplos.
Passo 5
Juntando os resultados:
. Portanto qualquer
com
real tem de ser da forma
com
e
.
Além disso, podemos escrever o valor real de
explicitamente usando
:
Isto mostra também que quando
é par
e quando
é ímpar
.
Observação sobre a afirmação do enunciado: a afirmação “
” (sem parte real e sem o fator
) seria verdadeira apenas sob hipóteses adicionais, por exemplo se além de
ser real se exigisse também que
fosse puramente imaginário ou que
. Sem tais hipóteses a forma correta é a dada acima.
Passo 6
- Se
então , real negativo. - Se
(isto é, ) então , real positivo.