Mostre que se e^{z} é um número real puro, então z=k \pi, k \in \mathbb{Z}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se e^{z} é um número real (ou seja, não tem parte imaginária), então alguma forma específica para z ocorre. As informações que temos são:
  • z é um número complexo qualquer (logo podemos escrevê‑lo como z=x+iy com x,y\in\mathbb{R});
  • sabe‑se apenas que e^{z} é real (não há outras hipóteses adicionais no enunciado).
O que se pede explicitamente é uma relação entre z e múltiplos de \pi (o enunciado afirma que z=k\pi com k\in\mathbb{Z}). Vou analisar cuidadosamente essa afirmação e deduzir a condição correta para z.

Passo 2

Escrever z em partes real e imaginária: seja z=x+iy com x,y\in\mathbb{R}. Isto é só reescrever z de forma que possamos usar fórmulas conhecidas para exponencial de número complexo.
Explicação da fórmula que vamos usar (fórmula de Euler + propriedades da exponencial):
e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}e^{iy}.
Pelo teorema de Euler,
e^{iy}=\cos y + i\sin y.
Portanto, combinando,
e^{z}=e^{x}(\cos y + i\sin y).
Aqui e^{x} é um número real positivo (pois x\in\mathbb{R}), e \cos y,\sin y são os habituais cosseno e seno reais.

Passo 3

Impor que e^{z} seja real significa que a parte imaginária de e^{z} é zero. A parte imaginária de e^{z} é e^{x}\sin y. Assim devemos ter
e^{x}\sin y = 0.
Como e^{x}>0 para todo x\in\mathbb{R}, a única forma de esse produto ser zero é
\sin y = 0.

Passo 4

Resolver \sin y = 0. Sabemos que as raízes do seno (os y reais para os quais \sin y=0) são exatamente os múltiplos inteiros de \pi. Logo
y = k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Isto vem da periodicidade do seno e do fato de \sin 0=0 e \sin(\pi)=0, e que não existem outros zeros fora desses múltiplos.

Passo 5

Juntando os resultados: y=k\pi. Portanto qualquer z com e^{z} real tem de ser da forma
z = x + i k\pi,
com x\in\mathbb{R} e k\in\mathbb{Z}.
Além disso, podemos escrever o valor real de e^{z} explicitamente usando \cos(k\pi)=(-1)^{k}:
e^{z}=e^{x}\cos(k\pi)=e^{x}(-1)^{k}\in\mathbb{R}.
Isto mostra também que quando k é par e^{z}>0 e quando k é ímpar e^{z}<0.
Observação sobre a afirmação do enunciado: a afirmação “ z=k\pi” (sem parte real e sem o fator i) seria verdadeira apenas sob hipóteses adicionais, por exemplo se além de e^{z} ser real se exigisse também que z fosse puramente imaginário ou que |e^{z}|=1. Sem tais hipóteses a forma correta é a dada acima.

Passo 6

  • Se z=\ln 3 + i\pi então e^{z}=e^{\ln 3}e^{i\pi}=3\cdot(-1)=-3, real negativo.
  • Se z=2 + i0 (isto é, k=0) então e^{z}=e^{2}, real positivo.

Resposta

z = x + i k\pi,\\ x\in\mathbb{R},\\ k\in\mathbb{Z}.

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