Com relação a função f(z)=\operatorname{sen} z :
a) Encontre sua parte real e imaginária e verifique as equações de CauchyRiemann
b) Prove a fórmula do seno da soma \operatorname{sen}(z+w)=\operatorname{sen}(z) \cos (z)+ \cos (z) \operatorname{sen}(w).

Passo 1

O enunciado dá a função f(z)=\operatorname{sen}z e pede duas coisas:
  • (a) Encontrar a parte real e a parte imaginária de f quando z=x+iy (com x,y\in\mathbb{R}) e verificar se as equações de Cauchy–Riemann são satisfeitas.
  • (b) Provar a fórmula da soma \operatorname{sen}(z+w)=\operatorname{sen}(z)\cos(w)+\cos(z)\operatorname{sen}(w).
Informações relevantes fornecidas: a definição usual das funções trigonométricas e exponenciais complexas pode ser usada; z e w são números complexos e podem ser escritos como z=x+iy, w=u+iv se for necessário. A resolução começa a partir daqui.

Passo 2

Primeiro, lembrar e explicar uma forma muito prática de trabalhar com funções trigonométricas complexas: a representação por exponenciais (fórmulas de Euler extendidas ao plano complexo). Definição que vamos usar:
\operatorname{sen}z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i},\qquad \cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}.
Aqui e^{iz} é a exponencial complexa aplicada a iz. Essas fórmulas são as mesmas que conhecemos para números reais, só que agora z é complexo; elas valem para todo z\in\mathbb{C}. Explicar o que significa cada símbolo:
  • e^{iz} é a função exponencial complexa.
  • i é a unidade imaginária ( i^2=-1).
  • As frações são combinações lineares das exponenciais que definem seno e cosseno complexos.

Passo 3

Agora escrevemos z em coordenadas reais: z=x+iy com x,y\in\mathbb{R}. Vamos calcular e^{iz} e e^{-iz} explicitamente em termos de x e y.
Calcular iz:
iz=i(x+iy)=ix - y.
Portanto
e^{iz}=e^{ix-y}=e^{-y}e^{ix}=e^{-y}\big(\cos x + i\sin x\big).
De modo análogo,
-e^{-iz}:\quad -iz=-i(x+iy)=-ix+y,
e
e^{-iz}=e^{y}e^{-ix}=e^{y}\big(\cos x - i\sin x\big).

Passo 4

Agora substituímos essas expressões na fórmula exponencial do seno:
\operatorname{sen}z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} =\frac{e^{-y}(\cos x + i\sin x)-e^{y}(\cos x - i\sin x)}{2i}.
Vamos agrupar termos reais e imaginários no numerador:
\text{numerador}= \big(e^{-y}\cos x - e^{y}\cos x\big) + i\big(e^{-y}\sin x + e^{y}\sin x\big).
Fatorando \cos x e \sin x:
\text{numerador}= \cos x\,(e^{-y}-e^{y}) + i\sin x\,(e^{-y}+e^{y}).
Dividindo por 2i (lembrar que dividir por i corresponde a multiplicar por -i):
\operatorname{sen}z = \frac{\cos x\,(e^{-y}-e^{y})}{2i} + \frac{i\sin x\,(e^{-y}+e^{y})}{2i}.
Simplificando os fatores i:
\operatorname{sen}z = -i\frac{\cos x\,(e^{-y}-e^{y})}{2} + \frac{\sin x\,(e^{-y}+e^{y})}{2}.

Passo 5

Reconhecer as funções hiperbólicas e reescrever de forma mais bonita e padrão. Lembrar das definições:
\operatorname{cosh} y=\frac{e^{y}+e^{-y}}{2},\qquad \operatorname{sinh} y=\frac{e^{y}-e^{-y}}{2}.
Com atenção aos sinais, a expressão anterior pode ser reorganizada. Observe que
\frac{e^{-y}+e^{y}}{2}=\operatorname{cosh} y,\qquad \frac{e^{-y}-e^{y}}{2}=-\operatorname{sinh} y.
Então
\operatorname{sen}z = \sin x\operatorname{cosh} y + i\cos x\operatorname{sinh} y.
Esta é a forma padrão e muito útil: a parte real e a parte imaginária de \operatorname{sen}z são, quando z=x+iy,
u(x,y)=\Re(\operatorname{sen}z)=\sin x\operatorname{cosh} y, \qquad v(x,y)=\Im(\operatorname{sen}z)=\cos x\operatorname{sinh} y.

Passo 6

Agora vamos verificar as equações de Cauchy–Riemann. Primeiro, lembrar o que são essas equações: se f(z)=u(x,y)+iv(x,y) é diferenciável como função complexa em um ponto, então as derivadas parciais existem e satisfazem
u_x=v_y,\qquad u_y=-v_x.
Também é boa prática checar que as derivadas parciais são contínuas na região considerada (aqui são funções suaves), então a verificação algebraica basta.
Calcular as derivadas parciais de u e v. Lembrar derivações básicas:
  • \dfrac{\partial}{\partial x}\sin x=\cos x, \dfrac{\partial}{\partial x}\cos x=-\sin x.
  • \dfrac{d}{dy}\operatorname{cosh} y=\operatorname{sinh} y, \dfrac{d}{dy}\operatorname{sinh} y=\operatorname{cosh} y.
    Logo,
u(x,y)=\sin x\operatorname{cosh} y \quad\Rightarrow\quad u_x=\cos x\operatorname{cosh} y,\qquad u_y=\sin x\operatorname{sinh} y.
E
v(x,y)=\cos x\operatorname{sinh} y \quad\Rightarrow\quad v_x=-\sin x\operatorname{sinh} y,\qquad v_y=\cos x\operatorname{cosh} y.

Passo 7

Comparar as derivadas e verificar as igualdades:
u_x=\cos x\operatorname{cosh} y=v_y, \qquad u_y=\sin x\operatorname{sinh} y=-v_x,
pois v_x=-\sin x\operatorname{sinh} y. Portanto as equações de Cauchy–Riemann são satisfeitas em todos os pontos (x,y). Além disso, u_x,u_y,v_x,v_y são funções contínuas (são combinações de seno, cosseno, \operatorname{sinh},\operatorname{cosh}), logo \operatorname{sen}z é holomorfa (diferenciável complexamente) em todo \mathbb{C}. Respire, tá tudo certo — CR verificadas!

Passo 8

Agora provamos a fórmula da soma do seno para complexos:
\operatorname{sen}(z+w)=\operatorname{sen}z\cos w+\cos z\operatorname{sen}w.
Usaremos as fórmulas exponenciais para seno e cosseno. Começar pela esquerda usando exponencial:
\operatorname{sen}(z+w)=\frac{e^{i(z+w)}-e^{-i(z+w)}}{2i} =\frac{e^{iz}e^{iw}-e^{-iz}e^{-iw}}{2i}.
Agora escrever o lado direito em termos exponenciais. Temos
\operatorname{sen}z\cos w+\cos z\operatorname{sen}w =\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\cdot\frac{e^{iw}+e^{-iw}}{2} +\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\cdot\frac{e^{iw}-e^{-iw}}{2i}.

Passo 9

Fazer a álgebra do lado direito com cuidado. Colocar sobre um denominador comum 4i:
\text{RHS}=\frac{1}{4i}\Big[(e^{iz}-e^{-iz})(e^{iw}+e^{-iw})+(e^{iz}+e^{-iz})(e^{iw}-e^{-iw})\Big].
Expandir os produtos no colchete:
\begin{aligned} & (e^{iz}e^{iw}+e^{iz}e^{-iw}-e^{-iz}e^{iw}-e^{-iz}e^{-iw}) \\\ &\qquad +(e^{iz}e^{iw}-e^{iz}e^{-iw}+e^{-iz}e^{iw}-e^{-iz}e^{-iw}). \end{aligned}
Agora somar termo a termo; alguns termos se cancelam:
  • e^{iz}e^{-iw} aparece com sinais opostos e cancela.
  • e^{-iz}e^{iw} também se cancela.
    Restam dois termos iguais com sinal positivo e dois iguais com sinal negativo, somando:
\text{colchete}=2e^{iz}e^{iw}-2e^{-iz}e^{-iw}=2\big(e^{i(z+w)}-e^{-i(z+w)}\big).
Portanto
\text{RHS}=\frac{1}{4i}\cdot 2\big(e^{i(z+w)}-e^{-i(z+w)}\big) =\frac{e^{i(z+w)}-e^{-i(z+w)}}{2i},
que é exatamente \operatorname{sen}(z+w). Logo a identidade está provada.

Passo 10

Resumo final e interpretação rápida: obtivemos explicitamente a decomposição em parte real e imaginária de \operatorname{sen}z, verificamos as equações de Cauchy–Riemann (logo \operatorname{sen}z é holomorfa), e provamos a fórmula da soma usando a representação exponencial — método simples e direto que funciona igualmente bem para números complexos.

Resposta

(a) \displaystyle \Re(\operatorname{sen}z)=u(x,y)=\sin x\operatorname{cosh} y,\qquad \Im(\operatorname{sen}z)=v(x,y)=\cos x\operatorname{sinh} y. As derivadas parciais são u_x=\cos x\operatorname{cosh} y, u_y=\sin x\operatorname{sinh} y, v_x=-\sin x\operatorname{sinh} y, v_y=\cos x\operatorname{cosh} y, portanto u_x=v_y e u_y=-v_x, ou seja, as equações de Cauchy–Riemann são satisfeitas.
(b) \displaystyle \operatorname{sen}(z+w)=\operatorname{sen}z\cos w+\cos z\operatorname{sen}w.

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