Com relação a função
:
a) Encontre sua parte real e imaginária e verifique as equações de CauchyRiemann
b) Prove a fórmula do seno da soma
.
a) Encontre sua parte real e imaginária e verifique as equações de CauchyRiemann
b) Prove a fórmula do seno da soma
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- (a) Encontrar a parte real e a parte imaginária de
quando (com ) e verificar se as equações de Cauchy–Riemann são satisfeitas. - (b) Provar a fórmula da soma
.
Informações relevantes fornecidas: a definição usual das funções trigonométricas e exponenciais complexas pode ser usada;
e
são números complexos e podem ser escritos como
,
se for necessário. A resolução começa a partir daqui.
Passo 2
Primeiro, lembrar e explicar uma forma muito prática de trabalhar com funções trigonométricas complexas: a representação por exponenciais (fórmulas de Euler extendidas ao plano complexo). Definição que vamos usar:
Aqui
é a exponencial complexa aplicada a
. Essas fórmulas são as mesmas que conhecemos para números reais, só que agora
é complexo; elas valem para todo
. Explicar o que significa cada símbolo:
-
é a função exponencial complexa. -
é a unidade imaginária ( ). - As frações são combinações lineares das exponenciais que definem seno e cosseno complexos.
Passo 3
Agora escrevemos
em coordenadas reais:
com
. Vamos calcular
e
explicitamente em termos de
e
.
Calcular
:
Portanto
De modo análogo,
e
Passo 4
Agora substituímos essas expressões na fórmula exponencial do seno:
Vamos agrupar termos reais e imaginários no numerador:
Fatorando
e
:
Dividindo por
(lembrar que dividir por
corresponde a multiplicar por
):
Simplificando os fatores
:
Passo 5
Reconhecer as funções hiperbólicas e reescrever de forma mais bonita e padrão. Lembrar das definições:
Com atenção aos sinais, a expressão anterior pode ser reorganizada. Observe que
Então
Esta é a forma padrão e muito útil: a parte real e a parte imaginária de
são, quando
,
Passo 6
Agora vamos verificar as equações de Cauchy–Riemann. Primeiro, lembrar o que são essas equações: se
é diferenciável como função complexa em um ponto, então as derivadas parciais existem e satisfazem
Também é boa prática checar que as derivadas parciais são contínuas na região considerada (aqui são funções suaves), então a verificação algebraica basta.
Calcular as derivadas parciais de
e
. Lembrar derivações básicas:
-
, . -
, .
Logo,
E
Passo 7
Comparar as derivadas e verificar as igualdades:
pois
. Portanto as equações de Cauchy–Riemann são satisfeitas em todos os pontos
. Além disso,
são funções contínuas (são combinações de seno, cosseno,
), logo
é holomorfa (diferenciável complexamente) em todo
. Respire, tá tudo certo — CR verificadas!
Passo 8
Agora provamos a fórmula da soma do seno para complexos:
Usaremos as fórmulas exponenciais para seno e cosseno. Começar pela esquerda usando exponencial:
Agora escrever o lado direito em termos exponenciais. Temos
Passo 9
Fazer a álgebra do lado direito com cuidado. Colocar sobre um denominador comum
:
Expandir os produtos no colchete:
Agora somar termo a termo; alguns termos se cancelam:
-
aparece com sinais opostos e cancela. -
também se cancela.
Restam dois termos iguais com sinal positivo e dois iguais com sinal negativo, somando:
Portanto
que é exatamente
. Logo a identidade está provada.
Passo 10
Resumo final e interpretação rápida: obtivemos explicitamente a decomposição em parte real e imaginária de
, verificamos as equações de Cauchy–Riemann (logo
é holomorfa), e provamos a fórmula da soma usando a representação exponencial — método simples e direto que funciona igualmente bem para números complexos.
Resposta
(a)
. As derivadas parciais são
,
,
,
, portanto
e
, ou seja, as equações de Cauchy–Riemann são satisfeitas.
(b) .
(b)