1. Use o escalonamento para determinar m e n a fim de que o sistema
\left\{\begin{array}{c} 2 x-y+3 z=1 \\\ x+2 y-z=4 \\\\ 3 x+y+m z=n \end{array}\right.
seja SPD, SPI e SI.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com três incógnitas x,y,z\) e pede para determinar os valores de \(m\) e \(n\) que tornam o sistema: SPD (possível e determinado — uma única solução), SPI (possível e indeterminado — infinitas soluções) e SI (impossível — sem solução). As equações dadas são: \[\begin{cases} 2x - y + 3z = 1,\\[4pt] x + 2y - z = 4,\\[4pt] 3x + y + m z = n. \end{cases}
Anotei as informações que temos: os coeficientes das incógnitas e o termo independente n\]; o parâmetro desconhecido no coeficiente da terceira equação é \(m. O objetivo é classificar o sistema em função de m e n.]

Passo 2

Vamos escalonar o sistema (fazer operações elementares sobre as linhas) passo a passo. Primeiro escrevo o sistema em forma de linhas:
\begin{aligned} L_1 &: \; 2x - y + 3z = 1,\\\ L_2 &: \; x + 2y - z = 4,\\\ L_3 &: \; 3x + y + m z = n. \end{aligned}
Para facilitar os cálculos, troco L_1 por L_2 (operação válida que não altera o conjunto de soluções). Agora as linhas são:
\begin{aligned} L_1 &: \; x + 2y - z = 4,\\\ L_2 &: \; 2x - y + 3z = 1,\\\ L_3 &: \; 3x + y + m z = n. \end{aligned}

Passo 3

Elimino a variável x das linhas L_2 e L_3 usando L_1.
Faço L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1:
L_2: \; (2x - y + 3z) - 2(x + 2y - z) = 1 - 2\cdot 4
Calculando cada termo:
2x-2x = 0,\quad -y - 4y = -5y,\quad 3z - 2(-z) = 3z + 2z = 5z,
e no termo independente 1 - 8 = -7. Logo
L_2: \; -5y + 5z = -7.
Faço L_3 \leftarrow L_3 - 3L_1:
L_3: \; (3x + y + m z) - 3(x + 2y - z) = n - 3\cdot 4
Calculando:
3x-3x = 0,\quad y - 6y = -5y,\quad m z - 3(-z) = m z + 3z = (m+3)z,
e no termo independente n - 12. Assim
L_3: \; -5y + (m+3)z = n - 12.
Agora o sistema escalonado (parcial) é
\begin{aligned} L_1 &: \; x + 2y - z = 4,\\\ L_2 &: \; -5y + 5z = -7,\\\ L_3 &: \; -5y + (m+3)z = n - 12. \end{aligned}

Passo 4

Elimino a entrada em y de L_3 usando L_2. Como ambos têm coeficiente -5 em y, faço L_3 \leftarrow L_3 - L_2:
L_3: \; [-5y + (m+3)z] - [-5y + 5z] = (n-12) - (-7).
Isso dá:
0\cdot y + (m+3 - 5)z = n - 12 + 7.
Portanto
L_3: \; (m-2)z = n - 5.
Assim o sistema totalmente escalonado é
\begin{aligned} L_1 &: \; x + 2y - z = 4,\\\ L_2 &: \; -5y + 5z = -7,\\\ L_3 &: \; (m-2)z = n - 5. \end{aligned}

Passo 5

Agora analiso os casos conforme o coeficiente (m-2) da última equação.
Caso A: (m-2) \neq 0 (ou seja, m \neq 2).
Neste caso a terceira equação determina z de forma única:
z = \frac{n-5}{m-2}.
Com z determinado, a segunda equação
-5y + 5z = -7
pode ser escrita como
y - z = \frac{7}{5}\quad\text{(dividindo por }-5\text{ e multiplicando por }-1),
portanto
y = z + \frac{7}{5}.
Substituindo y e z em L_1,
x + 2y - z = 4 \quad\Rightarrow\quad x = 4 - 2y + z.
Substituindo y = z + \tfrac{7}{5}
x = 4 - 2\left(z + \frac{7}{5}\right) + z = \frac{6}{5} - z.
Como todas as incógnitas ficam determinadas (em função de m e n), o sistema tem exatamente uma solução quando m \neq 2. Logo para todo n e para todo m com m\neq 2 o sistema é SPD.

Passo 6

Caso B: m-2 = 0, isto é m = 2. Então a terceira equação torna-se
0\cdot z = n - 5,
isto é 0 = n - 5 ou 0 = um número. Aqui há duas subcasos:
  • Se n - 5 \neq 0 (ou seja n \neq 5), a última linha fica 0 = número não nulo, uma contradição. Portanto o sistema é impossível (SI) quando m = 2 e n \neq 5.
  • Se n - 5 = 0 (ou seja n = 5), a última equação é 0=0 (linha nula) e não impõe restrição adicional. Restam duas equações independentes ( L_1 e L_2) para três incógnitas, portanto haverá infinitas soluções (grau de liberdade 1). Vamos escrever a solução paramétrica quando m=2 e n=5:
Escolha parâmetro livre t para z: z = t. Da segunda equação
-5y + 5z = -7 \implies y = z + \frac{7}{5} = t + \frac{7}{5}.
Da primeira equação
x + 2y - z = 4 \implies x = 4 - 2y + z = \frac{6}{5} - t.
Portanto quando m=2 e n=5 o conjunto de soluções é
(x,y,z) = \left(\frac{6}{5} - t,\; \frac{7}{5} + t,\; t\right),\quad t\in\mathbb{R},
o que confirma que o sistema é SPI (infinitas soluções).

Passo 7

Resumo lógico das conclusões obtidas nos passos anteriores:
  • Se m \neq 2 então o pivô da terceira linha é não nulo e o sistema tem uma única solução (SPD), para qualquer n.
  • Se m = 2 e n = 5 então há uma linha toda zero e o sistema tem infinitas soluções (SPI).
  • Se m = 2 e n \neq 5 então surge uma contradição 0 = número não nulo e o sistema é impossível (SI).

Resposta

SPD: m \neq 2 (qualquer n).
SPI: m = 2,\; n = 5.
SI: m = 2,\; n \neq 5.

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