O enunciado dá o sistema linear com três incógnitas x,y,z\) e pede para determinar os valores de \(m\) e \(n\) que tornam o sistema: SPD (possível e determinado — uma única solução), SPI (possível e indeterminado — infinitas soluções) e SI (impossível — sem solução). As equações dadas são:
\[\begin{cases} 2x - y + 3z = 1,\\[4pt] x + 2y - z = 4,\\[4pt] 3x + y + m z = n. \end{cases}
Anotei as informações que temos: os coeficientes das incógnitas e o termo independente n\]; o parâmetro desconhecido no coeficiente da terceira equação é \(m. O objetivo é classificar o sistema em função de m e n.]
Passo 2
Vamos escalonar o sistema (fazer operações elementares sobre as linhas) passo a passo. Primeiro escrevo o sistema em forma de linhas:
\begin{aligned} L_1 &: \; 2x - y + 3z = 1,\\\ L_2 &: \; x + 2y - z = 4,\\\ L_3 &: \; 3x + y + m z = n. \end{aligned}
Para facilitar os cálculos, troco L_1 por L_2 (operação válida que não altera o conjunto de soluções). Agora as linhas são:
\begin{aligned} L_1 &: \; x + 2y - z = 4,\\\ L_2 &: \; 2x - y + 3z = 1,\\\ L_3 &: \; 3x + y + m z = n. \end{aligned}
Passo 3
Elimino a variável x das linhas L_2 e L_3 usando L_1.
\begin{aligned} L_1 &: \; x + 2y - z = 4,\\\ L_2 &: \; -5y + 5z = -7,\\\ L_3 &: \; (m-2)z = n - 5. \end{aligned}
Passo 5
Agora analiso os casos conforme o coeficiente (m-2) da última equação.
Caso A: (m-2) \neq 0 (ou seja, m \neq 2).
Neste caso a terceira equação determina z de forma única:
z = \frac{n-5}{m-2}.
Com z determinado, a segunda equação
-5y + 5z = -7
pode ser escrita como
y - z = \frac{7}{5}\quad\text{(dividindo por }-5\text{ e multiplicando por }-1),
portanto
y = z + \frac{7}{5}.
Substituindo y e z em L_1,
x + 2y - z = 4 \quad\Rightarrow\quad x = 4 - 2y + z.
Substituindo y = z + \tfrac{7}{5} dá
x = 4 - 2\left(z + \frac{7}{5}\right) + z = \frac{6}{5} - z.
Como todas as incógnitas ficam determinadas (em função de m e n), o sistema tem exatamente uma solução quando m \neq 2. Logo para todo n e para todo m com m\neq 2 o sistema é SPD.
Passo 6
Caso B: m-2 = 0, isto é m = 2. Então a terceira equação torna-se
0\cdot z = n - 5,
isto é 0 = n - 5 ou 0 = um número. Aqui há duas subcasos:
Se n - 5 \neq 0 (ou seja n \neq 5), a última linha fica 0 = número não nulo, uma contradição. Portanto o sistema é impossível (SI) quando m = 2 e n \neq 5.
Se n - 5 = 0 (ou seja n = 5), a última equação é 0=0 (linha nula) e não impõe restrição adicional. Restam duas equações independentes (L_1 e L_2) para três incógnitas, portanto haverá infinitas soluções (grau de liberdade 1). Vamos escrever a solução paramétrica quando m=2 e n=5:
Escolha parâmetro livre t para z: z = t. Da segunda equação
-5y + 5z = -7 \implies y = z + \frac{7}{5} = t + \frac{7}{5}.
Da primeira equação
x + 2y - z = 4 \implies x = 4 - 2y + z = \frac{6}{5} - t.
Portanto quando m=2 e n=5 o conjunto de soluções é