1. Use o escalonamento para determinar m e n a fim de que o sistema
\left\{\begin{array}{c} 2 x-y+3 z=1 \\\ x+2 y-z=4 \\\\ 3 x+y+m z=n \end{array}\right.
seja SPD, SPI e SI.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com incógnitas x,y,z:
\left\{\begin{array}{rcl} 2x-y+3z &=& 1,\\[4pt] x+2y-z &=& 4,\\[4pt] 3x+y+mz &=& n. \end{array}\right.
O que se pede é: determinar os valores de m e n para que o sistema seja
  • SPD (sistema possível e determinado — solução única),
  • SPI (sistema possível e indeterminado — infinitas soluções),
  • SI (sistema impossível — sem solução).
As informações relevantes são as três equações acima (cada coeficiente e o termo independente n na terceira equação).]

Passo 2

Breve aula-prática sobre escalonamento e como decidir SPD / SPI / SI:
  • Colocamos o sistema na forma de matriz aumentada e aplicamos operações elementares por linhas (trocar duas linhas, multiplicar uma linha por constante não nula, somar a um múltiplo de uma linha outra linha). Essas operações não mudam o conjunto de soluções.
  • Ao escalonar até forma triangular, contamos o número de linhas não nulas (ou pivôs). Isso é o posto (rank) da matriz.
  • Regras práticas:
    • Se o posto da matriz de coeficientes for igual ao número de incógnitas ( 3 aqui), o sistema é SPD (solução única).
    • Se o posto da matriz de coeficientes for menor que 3 e igual ao posto da matriz aumentada, o sistema é SPI (infinitas soluções).
    • Se o posto da matriz de coeficientes for menor que o posto da matriz aumentada, o sistema é SI (inconsistente).
      Vou aplicar escalonamento e, ao final, comparar os últimos coeficientes para achar as condições em m,n.

Passo 3

Escrevo a matriz aumentada do sistema:
\begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 & \vline & 1\\[4pt] 1 & 2 & -1 & \vline & 4\\[4pt] 3 & 1 & m & \vline & n \end{pmatrix}]

Passo 4

Para facilitar, troco a linha 1 com a linha 2 (colocar pivot 1 no início):
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & \vline & 4\\[4pt] 2 & -1 & 3 & \vline & 1\\[4pt] 3 & 1 & m & \vline & n \end{pmatrix}]

Passo 5

Elimino abaixo do primeiro pivô ( 1 na primeira linha).
  • Faço L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1. Cálculo por entradas:
    • 2-2\cdot1=0,
    • -1-2\cdot2=-1-4=-5,
    • 3-2\cdot(-1)=3+2=5,
    • 1-2\cdot4=1-8=-7.
      Então L_2=(0,-5,5\mid -7).
  • Faço L_3 \leftarrow L_3 - 3L_1. Cálculo por entradas:
    • 3-3\cdot1=0,
    • 1-3\cdot2=1-6=-5,
    • m-3\cdot(-1)=m+3,
    • n-3\cdot4=n-12.
      Então L_3=(0,-5,m+3\mid n-12).
A matriz passa a ser
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & \vline & 4\\[4pt] 0 & -5 & 5 & \vline & -7\\[4pt] 0 & -5 & m+3 & \vline & n-12 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora elimino abaixo do segundo pivô (o coeficiente -5 em L_2):
Faço L_3 \leftarrow L_3 - L_2. Cálculo por entradas:
  • 0-0=0,
  • -5-(-5)=0,
  • (m+3)-5 = m-2,
  • (n-12)-(-7)=n-5.
A matriz escalonada fica
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & \vline & 4\\[4pt] 0 & -5 & 5 & \vline & -7\\[4pt] 0 & 0 & m-2 & \vline & n-5 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Interpretação da última linha [0\\\ 0\\ m-2\\ \vline\\ n-5] para decidir os tipos de sistema:
  • Se m-2\neq 0 então o terceiro pivô é não nulo: posto da matriz de coeficientes = 3. Como há 3 incógnitas, posto = número de incógnitas ⇒ sistema tem solução única (SPD). Nesse caso não há restrição em n: qualquer n dá posto 3.
  • Se m-2=0 (ou seja m=2) então a terceira coluna da parte de coeficientes na terceira linha é zero. A terceira linha da matriz de coeficientes fica toda zero, então o posto da matriz de coeficientes é \le 2. Agora olhar a entrada aumentada:
    • Se também n-5=0 (ou seja n=5), a terceira linha da matriz aumentada é toda zero, então posto(matriz de coeficientes) = posto(matriz aumentada) = 2 (❤️). Isso significa infinitas soluções (SPI).
    • Se n-5\neq 0 (ou seja n\neq 5), a terceira linha da matriz aumentada é [0\\\ 0\\\ 0\mid \text{não zero}]ã, o que equivale a 0= \text{constante} impossível. Então posto(matriz aumentada) = 3 enquanto posto(matriz de coeficientes) = 2, daí sistema impossível (SI).

Passo 8

Resumo das condições obtidas (explicação curta e direta):
  • SPD (solução única): ocorre quando m-2\neq 0, isto é m\neq 2. Neste caso qualquer n é permitido.
  • SPI (infinitas soluções): ocorre quando m=2 e n=5.
  • SI (sem solução): ocorre quando m=2 e n\neq 5.

Resposta

SPD: m\neq 2 (qualquer n).
SPI: m=2,\\ n=5.
SI: m=2,\\ n\neq 5.

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