O que se pede é: determinar os valores de m e n para que o sistema seja
SPD (sistema possível e determinado — solução única),
SPI (sistema possível e indeterminado — infinitas soluções),
SI (sistema impossível — sem solução).
As informações relevantes são as três equações acima (cada coeficiente e o termo independente n na terceira equação).]
Passo 2
Breve aula-prática sobre escalonamento e como decidir SPD / SPI / SI:
Colocamos o sistema na forma de matriz aumentada e aplicamos operações elementares por linhas (trocar duas linhas, multiplicar uma linha por constante não nula, somar a um múltiplo de uma linha outra linha). Essas operações não mudam o conjunto de soluções.
Ao escalonar até forma triangular, contamos o número de linhas não nulas (ou pivôs). Isso é o posto (rank) da matriz.
Regras práticas:
Se o posto da matriz de coeficientes for igual ao número de incógnitas (3 aqui), o sistema é SPD (solução única).
Se o posto da matriz de coeficientes for menor que 3 e igual ao posto da matriz aumentada, o sistema é SPI (infinitas soluções).
Se o posto da matriz de coeficientes for menor que o posto da matriz aumentada, o sistema é SI (inconsistente).
Vou aplicar escalonamento e, ao final, comparar os últimos coeficientes para achar as condições em m,n.
Interpretação da última linha [0\\\ 0\\ m-2\\ \vline\\ n-5] para decidir os tipos de sistema:
Se m-2\neq 0 então o terceiro pivô é não nulo: posto da matriz de coeficientes = 3. Como há 3 incógnitas, posto = número de incógnitas ⇒ sistema tem solução única (SPD). Nesse caso não há restrição em n: qualquer n dá posto 3.
Se m-2=0 (ou seja m=2) então a terceira coluna da parte de coeficientes na terceira linha é zero. A terceira linha da matriz de coeficientes fica toda zero, então o posto da matriz de coeficientes é \le 2. Agora olhar a entrada aumentada:
Se também n-5=0 (ou seja n=5), a terceira linha da matriz aumentada é toda zero, então posto(matriz de coeficientes) = posto(matriz aumentada) = 2 (❤️). Isso significa infinitas soluções (SPI).
Se n-5\neq 0 (ou seja n\neq 5), a terceira linha da matriz aumentada é [0\\\ 0\\\ 0\mid \text{não zero}]ã, o que equivale a 0= \text{constante} impossível. Então posto(matriz aumentada) = 3 enquanto posto(matriz de coeficientes) = 2, daí sistema impossível (SI).
Passo 8
Resumo das condições obtidas (explicação curta e direta):
SPD (solução única): ocorre quando m-2\neq 0, isto é m\neq 2. Neste caso qualquer n é permitido.
SPI (infinitas soluções): ocorre quando m=2 e n=5.