Use o esquema de Mapas de Karnaugh para obter as expressões simplificadas das seguintes funções:
\mathrm{F}(\mathrm{D}, \mathrm{C}, \mathrm{B}, \mathrm{A})=\sum(0,3,6,7,8,9,13,15)

Passo 1

O enunciado dá a função booleana F(D,C,B,A) definida pelos mintermos
F(D,C,B,A)=\sum(0,3,6,7,8,9,13,15).
Pergunta: obter a(s) expressão(ões) simplificada(s) usando Mapas de Karnaugh. Informações relevantes do enunciado:
  • Variáveis: D,\;C,\;B,\;A.
  • Lista de mintermos (peguei estes números do enunciado): 0,\;3,\;6,\;7,\;8,\;9,\;13,\;15.

Passo 2

Vou montar o Mapa de Karnaugh 4×4. Primeiro escrevo a correspondência das posições do mapa com os números dos mintermos (ordem Gray em linhas e colunas). Linhas correspondem a (D,C) nas sequências 00,\,01,\,11,\,10. Colunas correspondem a (B,A) nas sequências 00,\,01,\,11,\,10. Assim cada célula tem o número do mintermo dado por D\cdot8+C\cdot4+B\cdot2+A.
A tabela de índices por célula fica (cada entrada é o índice do mintermo):
\begin{matrix} \text{col }(BA): & 00 & 01 & 11 & 10\\[2pt] \hline \text{row }(DC)=00 & 0 & 1 & 3 & 2\\\ \text{row }(DC)=01 & 4 & 5 & 7 & 6\\\ \text{row }(DC)=11 & 12 & 13 & 15 & 14\\\ \text{row }(DC)=10 & 8 & 9 & 11 & 10 \end{matrix}]

Passo 3

Agora posiciono os 1’s nos mintermos fornecidos (peguei estes índices do enunciado). Para referência, escrevo também as representações binárias:
\begin{aligned} 0 &= 0000, & 3 &= 0011, & 6 &= 0110, & 7 &= 0111,\\\\ 8 &= 1000, & 9 &= 1001, & 13 &= 1101, & 15 &= 1111. \end{aligned}
Preenchendo o mapa (marcando 1 nas células correspondentes), temos as posições com 1 em termos de (\text{linha},\text{coluna}):
\begin{aligned} 0 &: (00,00),\quad 3:(00,11),\quad 6:(01,10),\quad 7:(01,11),\\\\ 8 &: (10,00),\quad 9:(10,01),\quad 13:(11,01),\quad 15:(11,11). \end{aligned}
(Imagine o mapa com 1 nas células acima; essas são as únicas células com valor 1.)

Passo 4

Regras de agrupamento (lembrete rápido e didático):
  • Agrupamentos válidos têm tamanho potência de dois: 1,2,4,8,\dots.
  • Grupos devem ser retangulares e podem “dar a volta” nas bordas (wrap-around).
  • Objetivo: cobrir todos os 1’s com o menor número de grupos maiores possíveis; grupos maiores produzem termos com menos literais.
  • Um implicante é essencial se contém um 1 que só ele cobre.
Vou procurar agrupamentos máximos (não é necessário listar todos os subgrupos). Vou identificar pares/quadros possíveis entre os 1’s listados.

Passo 5

Identificação de agrupamentos máximos (cada grupo contém apenas células que são 1):
  1. Par vertical entre m_0 e m_8: células (00,00) e (10,00). São adjacentes por wrap vertical. Esse par é maximal (não pode ser estendido porque as outras células ao redor são 0).
  2. Par vertical entre m_3 e m_7: células (00,11) e (01,11).
  3. Par horizontal entre m_6 e m_7: células (01,10) e (01,11).
  4. Par vertical entre m_9 e m_{13}: células (10,01) e (11,01).
  5. Par vertical entre m_{15} e m_{13}: células (11,11) e (11,01).
  6. Par vertical entre m_{15} e m_{7}: células (11,11) e (01,11).
  7. Par horizontal entre m_8 e m_9: células (10,00) e (10,01).
Observação importante: alguns destes pares se sobrepõem. Agora vejo quais implicantes são essenciais (cobrem 1’s que só esse implicante cobre).

Passo 6

Determinar implicantes essenciais:
  • O mintermo m_0 (índice 0) só aparece no par (0,8). Logo o implicante que cobre (0,8) é essencial.
  • O mintermo m_3 (índice 3) só aparece no par (3,7). Assim esse implicante é essencial.
  • O mintermo m_6 (índice 6) só aparece no par (6,7). Assim esse implicante é essencial.
Portanto já devemos incluir os três implicantes essenciais correspondentes aos pares identificados em que aparecem m_0, m_3 e m_6.

Passo 7

Traduzir cada grupo essencial em um produto de literais (explico como extraio literais):
  • Para um grupo, os literais que permanecem são as variáveis que não mudam dentro do grupo; as que mudam são eliminadas.
Grupo (0,8): células com índices 0=0000 e 8=1000. Variáveis que são iguais nas duas células: C=0,\;B=0,\;A=0. A variável D muda (0→1), então é eliminada. O termo é
\overline{C}\,\overline{B}\,\overline{A}.
Grupo (3,7): índices 3=0011 e 7=0111. Iguais: D=0,\;B=1,\;A=1. A variável C muda, então o termo é
\overline{D}\,B\,A.
Grupo (6,7): índices 6=0110 e 7=0111. Iguais: D=0,\;C=1,\;B=1. A variável A muda, então o termo é
\overline{D}\,C\,B.
Após incluir estes três termos, faltam cobrir os mintermos 9,\,13,\,15.

Passo 8

Cobrir os mintermos restantes. Da lista de implicantes possíveis que mencionei, os mintermos restantes são cobertos por pares:
  • m_9 é coberto por (9,13) ou por (8,9).
  • m_{13} é coberto por (9,13) ou por (13,15).
  • m_{15} é coberto por (13,15) ou por (15,7).
Escolha eficiente: selecionar os pares (9,13) e (13,15). Isso cobre 9,13,15 (o m_{13} fica coberto duas vezes, o que é permitido). Tradução desses pares em termos:
  • Par (9,13): 9=1001 e 13=1101 têm iguais D=1,\;A=1,\;B=0 (note: B=0 porque em BA a coluna é 01), portanto o termo é
D\,\overline{B}\,A.
  • Par (13,15): 13=1101 e 15=1111 têm iguais D=1,\;C=1,\;A=1, então o termo é
D\,C\,A.
(Outras escolhas de pares também levariam a uma expressão equivalente; esta escolha é natural e produz termos com três literais cada.)

Passo 9

Juntando todos os termos obtidos, a forma soma-de-produtos simplificada é:
F(D,C,B,A)=\overline{C}\,\overline{B}\,\overline{A}+\overline{D}\,B\,A+\overline{D}\,C\,B+D\,\overline{B}\,A+D\,C\,A.
Agora faço uma fatoração para apresentar uma forma mais compacta (opcional, mas útil na prova): agrupo termos que têm fatores em comum:
\overline{D}\,B\,A+\overline{D}\,C\,B=\overline{D}\,B\,(A+C),
D\,\overline{B}\,A+D\,C\,A= D\,A\,(\overline{B}+C).
Portanto outra forma compacta equivalente é
F(D,C,B,A)=\overline{C}\,\overline{B}\,\overline{A}+\overline{D}\,B\,(A+C)+D\,A\,(\overline{B}+C).

Resposta

F(D,C,B,A)=\overline{C}\,\overline{B}\,\overline{A}+\overline{D}\,B\,A+\overline{D}\,C\,B+D\,\overline{B}\,A+D\,C\,A
F(D,C,B,A)=\overline{C}\,\overline{B}\,\overline{A}+\overline{D}\,B\,(A+C)+D\,A\,(\overline{B}+C)

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