Use o esquema de Mapas de Karnaugh para obter as expressões simplificadas das seguintes funções: \mathrm{F}(\mathrm{D}, \mathrm{C}, \mathrm{B}, \mathrm{A})=\prod(1,3,8,10,12,13,14,15)
Passo 1
O enunciado dá a função em forma de produto de maxterms:
F(D,C,B,A)=\prod(1,3,8,10,12,13,14,15).
O que é pedido: obter expressões simplificadas (usar Mapas de Karnaugh) para essa função.
Informações explícitas que temos:
A função é zero nos índices 1,3,8,10,12,13,14,15.
Temos implicitamente que o universo de índices é 0,1,\dots,15 (quatro variáveis D,C,B,A).
Isso implica que a função vale 1 nos índices complementares 0,2,4,5,6,7,9,11.
A resolução seguirá construindo o Mapa de Karnaugh 4×4, agrupando 1’s para obter a forma mínima soma de produtos (SOP) e, em seguida, agrupando 0’s para obter a forma mínima produto de somas (POS).
Passo 2
Primeiro passo operacional: listar os minterms (índices onde F=1), porque isso facilita montar o K-map para a forma SOP. Como os índices dados são os maxterms (onde F=0), os minterms são os índices restantes:
\text{minterms de }F = \{0,2,4,5,6,7,9,11\}.
Para cada índice, escrevendo em binário (na ordem D\,C\,B\,A):
Construção e convenção do Mapa de Karnaugh (4 variáveis). Usarei:
Linhas: \,DC = 00,\;01,\;11,\;10 (ordem Gray).
Colunas: \,BA = 00,\;01,\;11,\;10 (ordem Gray).
Cada célula corresponde ao índice 8D + 4C + 2B + A. Agora preencho o mapa com 1 nas células dos minterms listados e 0 nas demais.
Mapa por linhas (cada linha mostra as 4 células nas colunas 00,01,11,10):
Linha DC=00 (índices 0,1,3,2): 1,\;0,\;0,\;1.
Linha DC=01 (índices 4,5,7,6): 1,\;1,\;1,\;1.
Linha DC=11 (índices 12,13,15,14): 0,\;0,\;0,\;0.
Linha DC=10 (índices 8,9,11,10): 0,\;1,\;1,\;0.
Observação explícita: peguei os valores das posições do mapa a partir da lista de minterms que eu calculei (acima).
Passo 4
Explicação didática rápida sobre como agrupar no K-map (relembre, passo a passo):
Objetivo para SOP: agrupar 1’s em blocos de tamanhos 1,2,4,8,\dots que sejam potencia de 2, com forma retangular, permitindo wrap-around nas bordas.
Cada bloco gera um produto (AND) com literais constantes (variáveis que não mudam dentro do bloco). Se uma variável assume só 0 nas células do bloco, ela aparece negada no produto; se assume só 1, aparece sem barra; se varia dentro do bloco, ela é eliminada.
Preferir blocos maiores para obter expressões mais simples.
Vou aplicar isso agora ao mapa preenchido.
Passo 5
Encontrar blocos (SOP) — busca por blocos maiores possíveis:
Vejo uma linha inteira de 4 uns em DC=01 (índices 4,5,6,7). É um bloco de 4. Nessa linha D=0 e C=1 constantes; B,A variam. Logo o termo correspondente é \overline{D}C.
Há um bloco de 4 que cobre as células \{0,2,4,6\}: são as duas primeiras linhas (DC=00 e DC=01) nas colunas BA=00 e BA=10 (essas colunas são adjacentes por Gray wrap). Nesse bloco D é sempre 0 (linhas 00 e 01 têm D=0), e A é sempre 0 (colunas 00 e 10 têm A=0); C e B variam. Portanto o termo é \overline{D}\,\overline{A}.
Restam os uns nas posições 9 e 11 (linha DC=10, colunas BA=01 e BA=11). Essas duas células são adjacentes (na mesma linha, colunas adjacentes), portanto formam um bloco de 2. Nessa linha D=1,C=0 são constantes, e nessas colunas A=1 é constante (B varia). Assim o termo é D\overline{C}A.
Esses três blocos cobrem todos os 1’s. Posso anotar os termos gerados:
Interpretação das literais geradas (explicando por que cada letra aparece com barra ou sem barra):
Para \overline{D}C: nas 4 células do bloco D=0 (daí \overline{D}), C=1 (daí C); B,A variam e sumiram do termo.
Para \overline{D}\overline{A}: nas 4 células do bloco D=0 (daí \overline{D}), A=0 (daí \overline{A}); C,B variam e sumiram.
Para D\overline{C}A: nas 2 células do bloco D=1 (daí D), C=0 (daí \overline{C}), A=1 (daí A); B varia e sumiu.
Passo 7
Escrevendo a forma simplificada SOP (soma de produtos) obtida a partir das somas dos termos gerados:
F = \overline{D}C \;+\; \overline{D}\overline{A} \;+\; D\overline{C}A.
Explicação concisa: cada “+” é OR, cada justaposição é AND; a expressão cobre exatamente os minterms 0,2,4,5,6,7,9,11.
Passo 8
Agora obter a forma simplificada POS (produto de somas) usando agrupamento dos zeros do mapa — procedimento e interpretação:
Para POS agrupamos as células onde F=0 (os maxterms) em blocos de potências de 2. Cada bloco de zeros gera um somatório (OR) em que uma variável aparece (não negada) quando ela vale 0 em todas as células do bloco, e aparece negada quando ela vale 1 em todas as células do bloco; variáveis que mudam dentro do bloco são omitidas do somatório.
Vou identificar blocos de zeros no mesmo mapa.
Passo 9
Agrupamentos dos zeros (POS):
Linha DC=11 (índices 12,13,14,15) é uma linha inteira de zeros — bloco de 4. Nessa linha D=1 e C=1. Pela regra para somas (maxterms), quando uma variável é 1 constante no bloco, ela aparece negada no somatório; quando é 0 aparece sem barra. Assim o somatório correspondente é \overline{D}+\overline{C}.
Restam zeros nos índices 1,3,8,10. Podemos agrupar 1 e 3 (linha DC=00, colunas BA=01,11) como um bloco de 2. Nessa linha D=0,C=0 são constantes e nas duas colunas A=1 é constante. Para o somatório, D=0 implica incluir D, C=0 implica incluir C, A=1 implica incluir \overline{A}. Logo o somatório é D + C + \overline{A}.
Agrupar 8 e 10 (linha DC=10, colunas BA=00,10) como outro bloco de 2. Nessa linha D=1,C=0 constantes e nessas colunas A=0 constante. Assim o somatório é \overline{D} + C + A (porque D=1\Rightarrow\overline{D} no somatório; C=0\Rightarrow C; A=0\Rightarrow A).
Esses três somatórios cobrem todos os zeros.
Passo 10
Escrevendo a forma simplificada POS (produto dos somatórios encontrados):
F = (\overline{D}+\overline{C})\;(\,D + C + \overline{A}\,)\;(\,\overline{D} + C + A\,).
Explicação curta: cada parêntese é uma soma (OR); o produto entre parênteses é AND entre esses somatórios. Essa forma resulta diretamente dos blocos de zeros do mapa.