Use a Estimativa do Erro para aproximar a soma da série com quatro casas decimais e com erro menor do que E=5 times 10^-1. Diga quando a aproximação é por falta ou por excesso:
(b) sumn=1^infty (-1)^nn^2

Passo 1

O enunciado pede para aproximarmos a soma da série sumn=1^infty (-1)^n/n^2 a quatro casas decimais, usando a estimativa de erro para séries alternadas e garantindo erro menor que E = 5times10^-5. Vamos usar o teste da série alternada e a desigualdade |RN| <= aN+1.

Passo 2

Verificamos que os termos an = 1/n^2 satisfazem: são positivos, monótonos decrescentes e limntoinfty an = 0. Portanto a série é convergente por Leibniz e o erro do truncamento após N termos satisfaz
|RN| = |S - sN| <= aN+1 = 1(N+1)^2

Passo 3

Queremos 1/(N+1)^2 < 5times10^-5. Então
(N+1)^2 > 15times10^-5 = 20000 Longrightarrow N+1 > raiz20000approx 141.42 Longrightarrow N >= 141
Como escolhemos N=141, o erro satisfaz |R141| <= 1/142^2 < 5times10^-5.

Passo 4

Para classificar se a aproximação é por falta ou excesso, lembramos que em séries alternadas com a1>0 e termos alternando de sinal, se N é ímpar o próximo termo aN+1 é positivo => sN < S (falta). Aqui N=141 ímpar, logo é por falta.

Passo 5

Finalmente, usando cálculo numérico (ou o valor fechado S=-pi^2/12), obtemos:
S=sumn=1^infty (-1)^nn^2 = -pi^212 approx -0.8224667 approx -0.8225

Resposta

Aproximação: Sapprox -0.8225 com erro <5times10^-5, e como N=141 é ímpar, o valor é por falta.

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