A ball of radius
is cut into two pieces by a horizontal plane
units above the center of the ball. Determine the volume of the upper piece by using the shell method.
Passo 1
A questão pede o volume da peça superior de uma esfera de raio
cortada por um plano horizontal que fica a uma distância
acima do centro. O conteúdo principal é o método das cascas cilíndricas, e vamos precisar da equação da esfera
e de como montar integrais usando cascas para sólidos de revolução.
Passo 2
Escolhemos um sistema de coordenadas com o centro da esfera na origem e o eixo
vertical. A região que gera a calota esférica fica entre
e
. Ao girar em torno do eixo
, cada reta vertical em
vira uma casca cilíndrica de raio
e altura
. Os limites em
vão de 0 até
.
Passo 3
A diferencial de volume de cada casca é dada por
Assim o volume é
Passo 4
Para a primeira integral usamos a substituição
, com
. Isso leva a
A segunda integral é imediata:
Passo 5
Substituindo de volta em
e factorizando, obtemos