A ball of radius r is cut into two pieces by a horizontal plane a units above the center of the ball. Determine the volume of the upper piece by using the shell method.

Passo 1

A questão pede o volume da peça superior de uma esfera de raio r cortada por um plano horizontal que fica a uma distância a acima do centro. O conteúdo principal é o método das cascas cilíndricas, e vamos precisar da equação da esfera x^2+y^2+z^2=r^2 e de como montar integrais usando cascas para sólidos de revolução.

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas com o centro da esfera na origem e o eixo z vertical. A região que gera a calota esférica fica entre z=a e z=raizr^2-x^2. Ao girar em torno do eixo z, cada reta vertical em x vira uma casca cilíndrica de raio x e altura h(x)=raizr^2-x^2-a. Os limites em x vão de 0 até L=raizr^2-a^2.

Passo 3

A diferencial de volume de cada casca é dada por
dV = 2pi,x,l(raizr^2-x^2-ar),dx
Assim o volume é
V = 2piintegral0^raizr^2-a^2 x,raizr^2-x^2,dx ;- 2pi,aintegral0^raizr^2-a^2 x,dx

Passo 4

Para a primeira integral usamos a substituição u=r^2-x^2, com du=-2x,dx. Isso leva a
integral0^L xraizr^2-x^2,dx = r^3 - a^33
A segunda integral é imediata:
integral0^L x,dx = L^22 = r^2 - a^22

Passo 5

Substituindo de volta em V e factorizando, obtemos
V = 2pil(r^3 - a^33 - ar^2 - a^22r) = pi3l(2r^3 - 3ar^2 + a^3r) = pi3(r - a)^2(2r + a)

Resposta

V = pi3(r - a)^2(2r + a)

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