- Mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a série
está entre dois valores envolvendo
. O conteúdo principal é o teste de comparação de séries com integrais, e vamos precisar usar que
é positiva e decrescente para
.
Passo 2
Definimos a função
. Observamos que para
:
-
. -
, ou seja, é decrescente. Assim, podemos aplicar as desigualdades de comparação série–integral.
Passo 3
Para uma função contínua, positiva e decrescente
, vale
Passo 4
Calculamos a integral
$$\int_{1}{\infty}\frac{dx}{x2+1} = \lim_{b\to\infty}\bigl[\arctan(x)\bigr]_{1}^{b}
= \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}.$$
Passo 5
Substituindo na desigualdade de comparação, obtemos