1. Mostre que pi4 <= sumn=1^infty 1n^2+1 <= 12+pi4.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série sumn=1^infty 1n^2+1 está entre dois valores envolvendo pi. O conteúdo principal é o teste de comparação de séries com integrais, e vamos precisar usar que f(x)=1/(x^2+1) é positiva e decrescente para x>=1.

Passo 2

Definimos a função f(x)=1/(x^2+1). Observamos que para x>=1:
  • f(x)>0.
  • f'(x)=-2x/(x^2+1)^2<0, ou seja, f é decrescente. Assim, podemos aplicar as desigualdades de comparação série–integral.

Passo 3

Para uma função contínua, positiva e decrescente f, vale
integral1^inftyf(x),dx ;<=; sumn=1^inftyf(n) ;<=; f(1) + integral1^inftyf(x),dx

Passo 4

Calculamos a integral
$$\int_{1}{\infty}\frac{dx}{x2+1} = \lim_{b\to\infty}\bigl[\arctan(x)\bigr]_{1}^{b}
= \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}.$$

Passo 5

Substituindo na desigualdade de comparação, obtemos
pi4 <= sumn=1^infty1n^2+1 <= 11^2+1 + pi4 = 12 + pi4

Resposta

pi4 <= sumn=1^infty 1n^2+1 <= 12+pi4

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