Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
33. Se \left\{a_{n}\right\} divergir, então a_{n} \rightarrow+\infty ou a_{n} \rightarrow-\infty.

Passo 1

O enunciado afirma que se a sequência \{a_{n}\} diverge (isto é, não converge para nenhum número real), então ela deve divergir ou para +\infty ou para -\infty. Para decidir isso, vamos lembrar as definições de divergência e de “divergir para infinito” e depois apresentar um contraexemplo que mostra que nem toda sequência divergente vai para +\infty ou para -\infty.

Passo 2

Definições principais:
– Dizemos que \{a_{n}\} diverge se não existe L\in\mathbb{R} tal que
\lim_{n\to\infty}a_{n}=L.
– Dizemos que \{a_{n}\} diverge para +\infty se, para todo M>0, existe N tal que a_{n}>M para todo n\ge N.
– Analogamente, divergir para -\infty significa que, para todo M<0, existe N tal que a_{n}<M para todo n\ge N.

Passo 3

Considere a sequência a_{n}=(-1)^{n}.
  1. Essa sequência é divergente porque não se aproxima de nenhum valor fixo: ela oscila entre 1 e -1.
  2. Ela não diverge para +\infty porque os seus termos ficam sempre em \{1,-1\}, logo nunca excedem arbitrariamente um M>1.
  3. Também não diverge para -\infty pelas mesmas razões: não fica abaixo de todos os M< -1.
Portanto, \{a_{n}\} diverge sem se “ir para” +\infty nem “ir para” -\infty, mostrando que a afirmação do enunciado é falsa.

Resposta

Falso.

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