Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
33. Se
divergir, então
ou
.
33. Se
Passo 1
O enunciado afirma que se a sequência
diverge (isto é, não converge para nenhum número real), então ela deve divergir ou para
ou para
. Para decidir isso, vamos lembrar as definições de divergência e de “divergir para infinito” e depois apresentar um contraexemplo que mostra que nem toda sequência divergente vai para
ou para
.
Passo 2
Definições principais:
– Dizemos que diverge se não existe
tal que
– Dizemos que
– Dizemos que
diverge para
se, para todo
, existe
tal que
para todo
.
– Analogamente, divergir para significa que, para todo
, existe
tal que
para todo
.
– Analogamente, divergir para
Passo 3
Considere a sequência
.
- Essa sequência é divergente porque não se aproxima de nenhum valor fixo: ela oscila entre
e . - Ela não diverge para
porque os seus termos ficam sempre em , logo nunca excedem arbitrariamente um . - Também não diverge para
pelas mesmas razões: não fica abaixo de todos os .
Portanto,
diverge sem se “ir para”
nem “ir para”
, mostrando que a afirmação do enunciado é falsa.
Resposta
Falso.