1. Use o Exercício 04 para encontrar o centroide da região triangular de vértices (0,0),(a, 0) e (a, b), onde a>0 \mathrm{e} \mathrm{b}>0.

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos o centroide da região triangular com vértices (0,0), (a,0) e (a,b), usando o método de integrais duplas (Exercício 04). Para isso precisamos:
  1. conhecer a fórmula do centroide de uma região plana
  2. parametrizar a região em termos de x e y
  3. calcular a área A do triângulo
  4. avaliar \displaystyle \bar x=\frac1A\iint_R x\,dA e \displaystyle \bar y=\frac1A\iint_R y\,dA.

Passo 2

Primeiro obtemos a área do triângulo. A base é a e a altura é b, então
A=\frac{1}{2}ab.
Em seguida parametrize R por
0\le x\le a,\qquad 0\le y\le \frac{b}{a}\,x,
pois a reta que liga (0,0) a (a,b) é y=(b/a)x.

Passo 3

Calculamos \bar x:
\iint_R x\,dA =\int_{x=0}^{a}\!\int_{y=0}^{(b/a)x}x\,dy\,dx =\int_{0}^{a}x\Bigl[\;y\Bigr]_{0}^{(b/a)x}dx =\int_{0}^{a}x\cdot\frac{b}{a}x\,dx =\frac{b}{a}\int_{0}^{a}x^2\,dx =\frac{b}{a}\cdot\frac{a^3}{3} =\frac{b\,a^2}{3}.
Logo
\bar x=\frac{1}{A}\iint_R x\,dA =\frac{1}{\tfrac12ab}\cdot\frac{b\,a^2}{3} =\frac{2\,a}{3}.

Passo 4

Agora \bar y:
\iint_R y\,dA =\int_{0}^{a}\!\int_{0}^{(b/a)x}y\,dy\,dx =\int_{0}^{a}\frac{1}{2}\Bigl(\frac{b}{a}x\Bigr)^{2}dx =\frac{b^2}{2a^2}\int_{0}^{a}x^2\,dx =\frac{b^2}{2a^2}\cdot\frac{a^3}{3} =\frac{b^2\,a}{6}.
Portanto
\bar y=\frac{1}{A}\iint_R y\,dA =\frac{1}{\tfrac12ab}\cdot\frac{b^2\,a}{6} =\frac{b}{3}.

Resposta

O centroide da região triangular é
\bigl(\bar x,\bar y\bigr)=\Bigl(\tfrac{2a}{3},\,\tfrac{b}{3}\Bigr).

Exercícios relacionados