Verifique se a 1 -forma diferencial é exata.
\omega=y^{2} \cos x d x+\left(2 y \operatorname{sen} x+e^{2 z}\right) d y+2 y e^{2 z} d z

Passo 1

O enunciado apresenta a 1-forma diferencial
\omega = y^{2}\cos x\,dx + \bigl(2y\sin x + e^{2z}\bigr)\,dy + 2y e^{2z}\,dz
e pede para verificar se ela é exata. O conteúdo é de formas diferenciais em \mathbb R^3: vamos testar se \omega é fechada (isto é, se seus componentes satisfazem as condições de Poincaré num domínio simplesmente conexo) e, em caso afirmativo, encontrar uma primitiva \varphi tal que d\varphi=\omega.

Passo 2

Para testar se \omega é fechada, nomeamos
P(x,y,z)=y^{2}\cos x,\quad Q(x,y,z)=2y\sin x + e^{2z},\quad R(x,y,z)=2y e^{2z}
e comparamos as derivadas mistas:
\frac{\partial P}{\partial y}=2y\cos x,\quad \frac{\partial Q}{\partial x}=2y\cos x,
\frac{\partial P}{\partial z}=0,\quad \frac{\partial R}{\partial x}=0,
\frac{\partial Q}{\partial z}=2e^{2z},\quad \frac{\partial R}{\partial y}=2e^{2z}.
Como todas as igualdades \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x, \partial P/\partial z=\partial R/\partial x e \partial Q/\partial z=\partial R/\partial y valem em \mathbb R^3, a forma é fechada. Visto que \mathbb R^3 é simplesmente conexo, \omega é exata.

Passo 3

Para encontrar a primitiva \varphi(x,y,z), integramos P em relação a x:
\varphi(x,y,z)=\int y^{2}\cos x\,dx = y^{2}\sin x + h(y,z),
onde h(y,z) é uma função “constante” em x.

Passo 4

Derivamos \varphi em y e igualamos a Q:
\frac{\partial \varphi}{\partial y}=2y\sin x + \frac{\partial h}{\partial y} \stackrel{!}{=}2y\sin x + e^{2z} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial h}{\partial y}=e^{2z}.
Integrando em y:
h(y,z)=\int e^{2z}\,dy = y\,e^{2z} + g(z),
com g(z) “constante” em y.

Passo 5

Agora derivamos \varphi em z e igualamos a R:
\frac{\partial \varphi}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}\bigl(y^{2}\sin x + y\,e^{2z} + g(z)\bigr) =2y\,e^{2z} + g'(z) \stackrel{!}{=}2y\,e^{2z}.
Logo g'(z)=0, isto é, g(z)=C constante.

Resposta

A 1-forma \omega é exata, e uma primitiva é
\varphi(x,y,z)=y^{2}\sin x + y\,e^{2z} + C.

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