Verifique se a 1 -forma diferencial é exata.
Passo 1
O enunciado apresenta a 1-forma diferencial
e pede para verificar se ela é exata. O conteúdo é de formas diferenciais em
: vamos testar se
é fechada (isto é, se seus componentes satisfazem as condições de Poincaré num domínio simplesmente conexo) e, em caso afirmativo, encontrar uma primitiva
tal que
.
Passo 2
Para testar se
é fechada, nomeamos
e comparamos as derivadas mistas:
Como todas as igualdades
,
e
valem em
, a forma é fechada. Visto que
é simplesmente conexo,
é exata.
Passo 3
Para encontrar a primitiva
, integramos
em relação a
:
onde
é uma função “constante” em
.
Passo 4
Derivamos
em
e igualamos a
:
Integrando em
:
com
“constante” em
.
Passo 5
Agora derivamos
em
e igualamos a
:
Logo
, isto é,
constante.
Resposta
A 1-forma
é exata, e uma primitiva é