Use o exercício anterior para calcular os limites a seguir:
Por fim, dado
, calcule
. Se
calcule também
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular limites do tipo
,
que nada mais são do que as derivadas de funções polinomiais ou de potência fracionária. Vamos usar tanto a fatoração clássica de diferenças de potências quanto o conceito de derivada para obter esses limites.
que nada mais são do que as derivadas de funções polinomiais ou de potência fracionária. Vamos usar tanto a fatoração clássica de diferenças de potências quanto o conceito de derivada para obter esses limites.
Passo 2
Calcular
por fatoração.
Defina
Defina
de modo que
e
. Então
Logo
Quando
temos
, então o denominador tende a
Portanto
Passo 3
Calcular
com
.
Usando a fatoração
Usando a fatoração
segue que
Ao fazer
, cada termo
, e há
termos iguais. Logo
Passo 4
Calcular
para
.
Aqui vale observar que a função é diferenciável em
e
Aqui vale observar que a função
Mas por definição de derivada
Portanto esse limite é
Resposta
Para