Use o exercício anterior para calcular os limites a seguir:
\lim _{x \rightarrow 11} \frac{\sqrt[5]{x}-\sqrt[5]{11}}{x-11}
Por fim, dado n \in \mathbb{N}, calcule \lim _{x \rightarrow a} \frac{x^{n}-a^{n}}{x-a}. Se a>0 calcule também \lim _{x \rightarrow a} \frac{\sqrt[n]{x}-\sqrt[n]{a}}{x-a}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular limites do tipo \displaystyle\lim_{x\to c}\frac{f(x)-f\text{(c)}}{x-c},
que nada mais são do que as derivadas de funções polinomiais ou de potência fracionária. Vamos usar tanto a fatoração clássica de diferenças de potências quanto o conceito de derivada para obter esses limites.

Passo 2

Calcular \displaystyle\lim_{x\to 11}\frac{\sqrt[5]{x}-\sqrt[5]{11}}{x-11} por fatoração.
Defina
u = \sqrt[5]{x},\quad v = \sqrt[5]{11},
de modo que x = u^5 e 11 = v^5. Então
x-11 = u^5 - v^5 = (u-v)\bigl(u^4 + u^3v + u^2v^2 + uv^3 + v^4\bigr).
Logo
\frac{\sqrt[5]{x}-\sqrt[5]{11}}{x-11} = \frac{u-v}{(u-v)\bigl(u^4 + u^3v + u^2v^2 + uv^3 + v^4\bigr)} = \frac{1}{u^4 + u^3v + u^2v^2 + uv^3 + v^4}.
Quando x\to 11 temos u\to v, então o denominador tende a
5\,v^4 = 5\bigl(\sqrt[5]{11}\bigr)^4 = 5\,11^{4/5}.
Portanto
\lim_{x\to 11}\frac{\sqrt[5]{x}-\sqrt[5]{11}}{x-11} = \frac{1}{5\,11^{4/5}}.

Passo 3

Calcular \displaystyle\lim_{x\to a}\frac{x^n - a^n}{x - a} com n\in\mathbb{N}.
Usando a fatoração
x^n - a^n = (x - a)\sum_{k=0}^{n-1}x^{\,n-1-k}a^k,
segue que
\frac{x^n - a^n}{x - a} = \sum_{k=0}^{n-1}x^{\,n-1-k}a^k.
Ao fazer x\to a, cada termo x^{n-1-k}a^k\to a^{n-1}, e há n termos iguais. Logo
\lim_{x\to a}\frac{x^n - a^n}{x - a} = n\,a^{\,n-1}.

Passo 4

Calcular \displaystyle\lim_{x\to a}\frac{\sqrt[n]{x}-\sqrt[n]{a}}{x-a} para a>0.
Aqui vale observar que a função g(x)=x^{1/n} é diferenciável em x=a e
g'(x) = \frac{1}{n}\,x^{\frac{1}{n}-1} \quad\Longrightarrow\quad g'(a) = \frac{1}{n}\,a^{\frac{1}{n}-1} = \frac{1}{n\,a^{\frac{n-1}{n}}}.
Mas por definição de derivada
g'(a) = \lim_{x\to a}\frac{g(x)-g(a)}{x-a} = \lim_{x\to a}\frac{\sqrt[n]{x}-\sqrt[n]{a}}{x-a}.
Portanto esse limite é
\frac{1}{n\,a^{(n-1)/n}}.

Resposta

\displaystyle\lim_{x\to 11}\frac{\sqrt[5]{x}-\sqrt[5]{11}}{x-11}=\frac{1}{5\,11^{4/5}} \displaystyle\lim_{x\to a}\frac{x^n - a^n}{x - a}=n\,a^{\,n-1}
Para a>0: \displaystyle\lim_{x\to a}\frac{\sqrt[n]{x}-\sqrt[n]{a}}{x-a}=\frac{1}{n\,a^{(n-1)/n}}

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