Use o exercício anterior para calcular os limites a seguir:
\lim _{x \rightarrow 3} \frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{3}}{x-3}
Por fim, dado n \in \mathbb{N}, calcule \lim _{x \rightarrow a} \frac{x^{n}-a^{n}}{x-a}. Se a>0 calcule também \lim _{x \rightarrow a} \frac{\sqrt[n]{x}-\sqrt[n]{a}}{x-a}.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de três limites importantes de quocientes da forma “diferença sobre diferença de variáveis”. Mais precisamente:
  • \displaystyle \lim_{x\to 3}\frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{3}}{x-3}.
  • Para n\in\mathbb{N}, \displaystyle \lim_{x\to a}\frac{x^n-a^n}{x-a}.
  • Se a>0, \displaystyle \lim_{x\to a}\frac{\sqrt[n]{x}-\sqrt[n]{a}}{x-a}.
O conteúdo da matéria envolve limites de quociente (ideia de derivada) e fatoração de diferença de potências.

Passo 2

Para o primeiro limite, note que
x-3 \;=\;\bigl(\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{3}\bigr)\bigl((\sqrt[3]{x})^2+\sqrt[3]{x}\,\sqrt[3]{3}+(\sqrt[3]{3})^2\bigr).
Logo,
\frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{3}}{x-3} =\frac{1}{(\sqrt[3]{x})^2+\sqrt[3]{x}\,\sqrt[3]{3}+(\sqrt[3]{3})^2}.

Passo 3

Bast a avaliar em x=3. Como \sqrt[3]{3}=3^{1/3}, o denominador vira
3^{2/3}+3^{2/3}+3^{2/3}=3\cdot 3^{2/3}=3^{5/3}.
Portanto
\lim_{x\to3}\frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{3}}{x-3} =\frac{1}{3^{5/3}}.

Passo 4

Para o caso geral de n\in\mathbb{N}, usamos a fatoração
x^n-a^n=(x-a)\bigl(x^{n-1}+x^{n-2}a+\cdots+a^{n-1}\bigr).
Assim
\frac{x^n-a^n}{x-a} =x^{n-1}+x^{n-2}a+\cdots+a^{n-1},
e ao fazer x\to a obtemos
\lim_{x\to a}\frac{x^n-a^n}{x-a} =n\,a^{n-1}.

Passo 5

Para a raiz n-ésima com a>0, defina u=\sqrt[n]{x} e v=\sqrt[n]{a}. Então x=u^n e a=v^n, e
u^n-v^n=(u-v)\bigl(u^{n-1}+u^{n-2}v+\cdots+v^{n-1}\bigr).
Isto dá
\frac{\sqrt[n]{x}-\sqrt[n]{a}}{x-a} =\frac{u-v}{u^n-v^n} =\frac{1}{u^{n-1}+u^{n-2}v+\cdots+v^{n-1}},
que em u\to v vale
\frac{1}{n\,v^{\,n-1}} =\frac{1}{n\,a^{\frac{n-1}{n}}}.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to3}\frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{3}}{x-3}=\frac{1}{3^{5/3}} \displaystyle \lim_{x\to a}\frac{x^n-a^n}{x-a}=n\,a^{n-1}
Se a>0: \displaystyle \lim_{x\to a}\frac{\sqrt[n]{x}-\sqrt[n]{a}}{x-a}=\frac{1}{n\,a^{\frac{n-1}{n}}}.

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