Use o exercício anterior para calcular os limites a seguir:
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-4}{x-2}
Por fim, dado n \in \mathbb{N}, calcule \lim _{x \rightarrow a} \frac{x^{n}-a^{n}}{x-a}. Se a>0 calcule também \lim _{x \rightarrow a} \frac{\sqrt[n]{x}-\sqrt[n]{a}}{x-a}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular três limites envolvendo quocientes de funções que se anulam no ponto de interesse. O conteúdo principal é a fatoração de diferenças de potências e a interpretação do limite como derivada em um ponto. Vamos usar: diferença de quadrados, diferença de potências gerais e, para a raiz enésima, uma fatoração análoga (ou a regra da derivada de x^{1/n}).

Passo 2

Para
\lim_{x\to2}\frac{x^{2}-4}{x-2}
note que x^{2}-4 é diferença de quadrados. Escrevemos
x^{2}-4 = (x-2)(x+2),
logo, para x\neq2,
\frac{x^{2}-4}{x-2} = x+2.
Fazendo x\to2, fica
\lim_{x\to2}\frac{x^{2}-4}{x-2} = 2+2 = 4.

Passo 3

Para
\lim_{x\to a}\frac{x^{n}-a^{n}}{x-a},
usamos a fatoração da diferença de potências:
x^{n}-a^{n} = (x-a)\bigl(x^{n-1}+x^{n-2}a+\cdots +a^{n-1}\bigr).
Assim, para x\neq a,
\frac{x^{n}-a^{n}}{x-a} = x^{n-1}+x^{n-2}a+\cdots +a^{n-1}.
Ao fazer x\to a, cada termo x^{k}a^{\,n-1-k} tende a a^{n-1}, e são n termos iguais. Portanto,
\lim_{x\to a}\frac{x^{n}-a^{n}}{x-a} = n\,a^{\,n-1}.

Passo 4

Para
\lim_{x\to a}\frac{\sqrt[n]{x}-\sqrt[n]{a}}{x-a},
defina f(x)=x^{1/n}. O limite é a derivada de f em a:
f'(x)=\frac{1}{n}\,x^{\frac1n-1} \quad\Longrightarrow\quad f'(a)=\frac{1}{n}\,a^{\frac1n-1} =\frac{1}{n\,a^{\frac{n-1}{n}}}.
Alternativamente, faz-se fatoração análoga à do passo anterior em termos de potências fracionárias e chega-se ao mesmo resultado.

Resposta

\lim_{x\to2}\frac{x^{2}-4}{x-2} = 4,
\lim_{x\to a}\frac{x^{n}-a^{n}}{x-a} = n\,a^{\,n-1},
\lim_{x\to a}\frac{\sqrt[n]{x}-\sqrt[n]{a}}{x-a} = \frac{1}{n\,a^{\frac{n-1}{n}}}.

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