Use a expansão em Série de Taylor de 
  para concluir a fórmula de Euler:
 
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que liga a exponencial complexa com funções trigonométricas, conhecida como Fórmula de Euler:
Para chegar até ela, vamos usar a expansão em Série de Taylor da função 
 . Basicamente, vamos expandir 
  em uma série infinita de potências e depois adaptar isso para números complexos.
Passo 2
Primeiro, lembra como é a Série de Taylor da função exponencial 
  em torno de 
 ? É assim:
Ou seja, a exponencial pode ser escrita como a soma de todas as potências de 
  divididas pelo fatorial de 
 .
Passo 3
Agora, vamos substituir 
  por um número imaginário, 
 , onde 
 . Então, temos:
Passo 4
Vamos calcular alguns termos para identificar um padrão. Lembrando que 
 , 
 , 
 , e assim por diante.
- 
 - 
 - 
 - 
 - 
 - …
 
Então, substituindo esses valores:
Passo 5
Agora, vamos separar os termos reais dos termos imaginários:
Termos Reais:
Termos Imaginários:
Isso acontece porque as séries para 
  e 
  são exatamente essas:
Resposta
Portanto, ao juntar os termos reais e imaginários, chegamos à Fórmula de Euler: